多项式因式分解

因式分解因式分解第3章因式分解3.1多项式因式分解返回教学目标：

了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法之间的联系与区别，会判断一个变形是否是因式分解。动脑筋21

等于3

乘哪个整数？21＝3×7x2-1等于x+1乘哪个多项式？

对于整数21与3，有整数7使得21＝3×7，我们把3叫作21的一个因数.同理，7也是21的一个因数.对于多项式x2-1与x+1，有x-1使得 ，我们把x+1叫作x2-1的一个因式，同理x-1也是x2-1的一个因式．探究

一般地，对于两个多项f与g，如果有多项式h使得f=gh

，那么我们把g叫作f的一个因式，此时，h也是

f

的一个因式．把x2-1写成的形式，叫作把x2-1

因式分解．

结论一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．可以看出，因式分解与整式乘法其实是两种互逆的变形.即x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法说一说为什么要把一个多项式因式分解呢？万里长城是由砖砌成的.不少房子也是用砖砌成的.因此，砖是基本建筑块之一.小知识类似地，在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”.例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数.小知识素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个大于1的正整数都能表示成若干个素数的乘积的形式.例如12=2×2×3，①

30=2×3×5

②小知识有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为2×3=6，进而很容易把分数约分：分子与分母同除以6，得小知识同样地，在系数为有理数(或系数为实数)的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁.

小知识例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程，常常需要把多项式因式分解.因式分解还可以在许多实际问题中简化计算.小知识例1

下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）（2）举例解（1）是.

因为从左边到右边是把多项式a

2+2ab+b

2表示成了多项式a+b与a+b的积的形式.（2）不是.

因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积的形式.例2

检验下列因式分解是否正确.（1）（2）（3）分析检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等．举例解

(1)因为x(x+y)=x2+xy，所以因式分解x2+xy=x(x+y)正确.(2)因为(a-2)(a-3)=a2-5a+6，所以因式分解a2-5a+6=(a-2)(a-3)正确.(3)因为(2m-n)(2m+n)=4m2-n2≠2m2-n2，所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确.练习1.

求4，6，14

的最大公因数.

答：最大公因数是2.练习2.

下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）（2）（3）（4）解（1）不是.因为从左边到右边是整式乘法的过程而不是把多项式表示成几个多项式的积的形式.（2）是.因为从左边到右边是把多项式2x2y+4xy2

表示成了多项式2xy与x+2y的积的形式.

（3）不是.因为从左边到右边是整式乘法的过程而不是把多项式表示成几个多项式的积的形式.（4）是.因为从左边到右边是把多项式4a2-4a+1表示成了多项式2a-1的平方的形式.

3.检验下列因式分解是否正确。(1)

(2)(3)，所以不正确。(1)

(2)(3)因为因为，所以不正确。因为，所以正确。小结与复习一般地，对于两个多项f

与g，如果有多项式h

使