模型实验的基础理论

模型实验的基础理论

第二讲参考书目模型实验的基本理论与方法公理集论力学中的相似及量纲方法模型实验的理论与应用当代给水与废水处理原理系统辨识基础目录1导言2因次分析的基本理论3相似理论4

现象相似与模型实验5误差分析导言

1.1现代实验与指导实验的理论

1.2实验与理论的关系

1.3实验的理论举例

1.4本讲座的内容与目的现代实验与指导实验的理论公理与公理化系统

公理是描述自然界基本规律的道理。常用的有牛顿三大定律、热力学三大定律等。

公理化系统是在某一学科的研究中采用的精确描述该学科中各种物理量的一类约定，是用形式语言来表达的形式系统。所用的形式语言不同于自然语言，是一种人工语言，具有精确、不含混的特点。公理与公理化系统公理与公理化系统还是

？现问：是

Russell悖论的表述十分简单且明确无误，这对本世纪初被认为是己可靠形成了的数学基础产生了冲击，形成了所谓“第三次数学危机”。例如：集论的公理化系统的产生，主要来源于一系列的悖论。最为著名的是Russell悖论。1902年，英国数理逻辑学家Russell提出了下面有名的悖论：考察由所有不是自己成员的集构成的集b：公理与公理化系统

除Russell悖论外，当时还出现了其他一些悖论。出现这些悖论说明不加限制地使用“集合”一词会出毛病。构成一个集，必须要有一些限制，必须要作一些规定。这就导致了集论的公理化。一般把由Cantor开始建立的未进行公理化的集论叫做朴素集论。

奥地利Gódel在研究算术形式系统时提出关于公理化系统的三个定律，其中之一是这样描述的：如果算术形式系统内的公理是不可证的，则其无矛盾性也是不可能的。

公理化在本系统内是可以证明的，但公理不可能在本系统内得到证明，通常是通过实践或实验来加以验证的。

现代实验与指导实验的理论实验是理论的源头实验是理论的源头科学实验本身带有很大的局限性，故必须有理论的正确指导；由于原型实验往往非常复杂，因此必须进行模型实验；实验的可靠性是实验价值的重要体现；现代实验的抗干扰问题；系统辨识实验是理论的源头

关于系统辨识，早在1962年扎德(Zadeh)就作了如下的定义：“根据对已知输入量的输出响应的观测，在指定一类系统的范围内确定一个与被辨识系统等价的系统。”根据这个定义，在系统辨识过程中，我们必须确定三方面的问题。第一、必须指定某类系统，这就是说根据我们事先掌握的关于所要辨识的系统的知识，必须先确定所辨识系统属于那一种系统，即什么样的类型。是静态的还是动态的，线性的还是非线性的，参数是定常的还是时变的，是确定性的还是随机性的，是连续系统还是离散的系统等。显然这是系统辨识关键性的问题，若确定错了，往往会使系统辨识不能成功。第二、必须规定一类输入信号，辨识是在某一特定输入信号下进行的。通常的输入信号有正弦、阶跃、脉冲、白色噪声、伪随机信号等。第三、必须规定等价的含义。对于两个系统，仅仅当对于所有可能的输入值，它们的输入——输出关系完全相同时，这两个系统才是等价的。用系统辨识来建立的模型必须与原系统等价。实验与理论的关系科学实验对原理具有始原性质；理论与实验在不同阶段往往具有不同的重要性；理论的价值不仅在于对具体实验的验证，更重要的是它将拓宽实验者的远见，丰富其想象力，引导其向更深邃的境界；实验的价值不仅仅在于取得具体结果，还在于分辨出诸多影响因素中的主导因素，以及对机理的直觉启示。实验的理论举例因次分析理论相似理论误差理论谱分析理论离散采样的逼真理论仪器与场耦合理论大规模超精细实验系统理论系统识别理论本讲座的内容与目的主要介绍实验的经典理论：因次分析、相似理论与误差分析及其应用目的：用于指导未来的实验、培养想象力

因次分析的基本理论

2.1实验与模拟

2.2量纲量和无量纲量

2.3国际单位制（SI）

2.4量纲公式与齐次函数

2.5白金汉定理

2.6因次体系的高斯原则实验与模拟

自然界所有的运动和平衡问题都可以归结为对表示现象特征的量确定其数值或某种函数关系。自然规律往往是以特征量间的函数方程，通常是微分方程表示出来的。

纯理论来研究这些问题是用数学方法来表示运动的特征并得出所要求的函数关系。但是，在很多场合会遇到不可克服的数学困难，其现象是如此复杂，以致至今还没有建立起合适的物理模型，更没有建立起运动方程。在这种场合，实验研究方法便占有主导地位。通常这类实验研究常常是进行能基本上模拟所研究现象的实验，测定实验数据，然后把它们写成某种数学关系式来加以应用。实验与模拟

模拟，是指对真实事物（实物）的形态、工作规律或信息传递规律在特定的（一般是简化的）条件下的一种相似再现。模拟一般是用模型来实现的，通常是在专门的试验设备或电子计算机上进行。

实验与模拟定量研究用的模拟可分为：1．物理模拟

模型的工作规律与实物相似，区别仅在于物理量的大小比例不同，但现象的物理本质不变。物理模拟与真实情况的物理特性一般是同类的，也可以是异类的，如用电场来研究温度场、流场等。他们都被同样的微分方程式所描述。2．数学模拟

在这种模拟中保持信息传递规律与实物相似。数学模拟与实物所进行的物理过程本质上是不同的，但信息传递按同一微分方程式进行。数学模拟可以很方便地研究各物理量变化时对工作过程的影响，故它可着重研究某系统在改变输入信息后工作过程的变化。数学模拟一般在电子计算机上进行。实验与模拟

数学模拟只有在建立了微分方程式后才能实现，而物理模拟只要知道了参与的物理量时就能实现。物理模拟一般是在按相似原理建立的与实物保持相似的模型上通过试验来求出相似准则之间的函数关系。此函数关系适用于一切相似现象，故可推广到实物上去。

具体来说，物理模拟可应用于下述几个方面：

1．用少量试验，配合方程分析或量纲分析，来获得参量间的全面关系。这样可大大减轻试验工作量，并使试验易于进行。2．在实物设计阶段，可通过模型试验来了解实物的未来性能。3．对产品极限性能的了解往往伴随产品的毁坏，因而用模型试验来进行研究最为合理。4．探索未研究过的现象的基本规律。在进行物理模拟时，应正确地选择无量纲参数。它们的数目应最少，并且所有参数应在最大程度上反映出被研究对象的主要物理现象，以大大减轻试验工作量。这方面的工作是应用量纲分析和相似理论得出的。因此，要有成效地提出并进行实验，不考虑相似和量纲问题是不可想象的。

量纲量和无量纲量

测量任何一个量，就是将此量与被选作测量单位的同类量相比较，并且用数字来表示所得到的比例。

凡数值取决于所取测量单位的量称为量纲量或有名的量。凡数值与所取测量单位无关的量称为无量纲量或抽象的量。

长度、时间、力、能、动量是量纲量的例子。角度、两长度之比、长度平方和面积之比、能量和动量之比是无量纲量的例子。量纲量和无量纲量的概念是相对的。如果引入某些辅助的测量单位，当对所有测量单位制采用这些辅助的测量单位时，若某些量的数值不变，这些量便可以认为是无量纲量。

国际单位制基本和导出测量单位基本和导出测量单位

在自然界中，不同的物理量之间往往以一定的关系互相联系着。因此，若把这些物理量中的某些取作基本量，并对它们建立起某种测量单位，则所有其它物理量的测量单位可以通过物理规律，用基本量的测量单位来表示。基本量的测量单位称为基本的或第一位的，而所有其它量的测量单位称为导出的或第二位的。

实践表明，对三个量建立起基本测量单位已是足够的了。在不同的问题中可以选取不同量的测量单位作为基本测量单位。在物理学研究中，取长度、时间和质量的单位作为基本测量单位比较方便。而在工程技术中，则广泛采用长度、时间和力的单位作为基本测量单位。基本和导出测量单位

用基本测量单位来表示导出测量单位称为量纲。量纲可以用公式的形式象征性地写出。通常长度单位用符号L，质量单位用M，时间单位用T。（在工程单位制中力的单位F。）

以后，将用符号[a]来表示某个量a的量纲。这是马克斯威尔（J．C．Maxwell）在1894年建议采用的。基本和导出测量单位例如，在物理学中，力F的量纲可写为：

应用量纲公式，可以在测量单位变化时换算出量纲量的数值。例如，对重力加速度g=981cm/s2。如需把测量单位转换至公里和小时，则因

便有：

基本和导出测量单位

一般说来，若在新的测量单位制中长度单位比老的小α倍，质量单位小β倍，时间单位小γ倍，则具有量纲[a]＝LlMmTn的物理量a的数值在新的单位制中要大倍。

国际单位制国际单位制（SI）国际单位制（SI）

在实践中，各国曾对不同的基本量或相同的基本量选取不同的基本测量单位，各种单位制的并存带来了很大不便。因此，多年来各国科技工作者一直在寻求建立并完善一个统一的计量单位制。1960年第十一届国际计量大会正式讨论通过了这样一个统—的计量单位制，即“国际单位制”(SystemInternational)，代号为SI。

1971年第十四届国际计量大会决定，以长度（m，米）、质量（kg，千克）、时间（s，秒）、电流（A，安培）、温度（K，开尔文）、物质的量（mol，摩尔）和光强度（cd，坎德拉）等七个物理量作为基本量。它们的测量单位称为国际制基本测量单位。两个辅助量：平面角（rad，弧度）和立体角（sr，球面度）

国际单位制（SI）长度的测量单位为米（m）。1米等于氪-88（）原子的2p10和5d5能级之间跃迁所对应的辐射在真空中的1650763.73个波长的长度。质量的单位为干克（kg）。l千克等于国际1千克原器的质量。时间的单位为秒（s）。1秒是铯-l33（）原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间。

量纲公式与齐次函数量纲公式量纲公式

导出量的测量单位和基本量的测量单位之间的关系可以用公式的形式来表示。这些公式称为量纲公式。

只有在采用了确定的测量单位制时，才能谈到量纲的概念。对于同一物理量的量纲公式在不同的单位制中可以包含不同的元素，并具有不同的形式。然而，所有物理量的量纲公式均具有指数单项式的形式，即：（或）。现在来证明这一点。

量纲公式

设有一有量纲的任意导出量y。为了简单起见，认为y是几何量，因此它仅取决于长度。

式中x1,x2,x3,…xn是某些距离。用y’来表示量y在各元素的数值为x1’,x2’,x3’,…xn’时的数值。显然，y及y’的数值取决于距离x1,x2,x3,…xn所用的测量单位。若把测量单位减少α倍，则对于上面的情况，有：（2-1）

即对于任意的α值，比值不变。

量纲公式由（2-1）式，或

（2-2）

即用不同缩比来测量的导出几何量数值之比只取决于缩比α。

由（2-2）式，有

量纲公式

当

，…，时，，…，

便有

由此，

（2-3）

量纲公式（2-3）式对α1微分，

令，便得

积分便可得

当时有

，故常数

。因此

（2-4）

上述结果对于任意一个取决于n个基本量的有量纲量都是正确的。不难看到，如果三个基本量的尺度变化α、β、γ倍，函数φ具有下列形式：（2-5）

量纲公式与齐次函数量纲的齐次性量纲的齐次性1齐次函数

对函数

或

i=1，2，3，…m

对每一个元素乘以一个任意实数，即

代入上述方程，即

若

对于任意空间点均存在上述关系，则称函数

为含有一个基本量的m元k次齐次函数。

量纲的齐次性例：则称y为含有1个基本量的2元-1次齐次函数。

其物理意义为：在实际应用中改用不同的单位制度量某一实体所引起的变化。

量纲的齐次性2多个基本量的齐次函数

对函数

即

i=1，2，3，…m

对任意给定的点

作变换

（αi一般为正实数）

，代入方程后可得：

，若

(是由方程结构所确定的实常数）,则称该多元函数为有m个基本量的m元齐次函数。

量纲的齐次性例：

（1）对上例，不是2个基本量的齐次函数；（2）对速度（率）而言，有以国际单位制与中国制对换，有

则

，u为具有两个基本量的二元齐次函数。

量纲的齐次性3复合齐次函数对函数

设等号右边的所有自变量都是独立变化，则该函数为m+n-1元函数，可表示为：

i=1，2，…，m；j=1，2，…，n-1任意给定一个空间点

，作如下变换

(其中)

代入上述函数可得：

，若量纲的齐次性(式中)

则称该函数为含有m个基本量的m+n-1元齐次函数。

对上述定义式可表示成下述的统一公式：

(式中)

e=1，2，…，n这一变换对自变量及应变量均适用。量纲的齐次性4量纲的齐次性

量纲的齐次性可描述为上述的齐次函数的形式，故量纲齐次性的描述可视为齐次函数的一具体表现方式。

若一方程式是量纲齐次的，则此方程式的形式在基本测量单位变化时不变。

若y是n个变量的函数，即

（2-6）

符号f可以认为是作用于变量x1，x2，…，xn的特定的运算符，用来得到变量y的值。

量纲的齐次性如果基本测量单位有了变化，这些变量将取新的值。由上面关于量纲齐次的定义，当且仅当

（2-7）

成立，且f是（2-6）式引用的相同运算符时，此方程才是量纲齐次的。

在环境工程问题中，常取质量、长度和时间作为基本量。当它们的测量单位变化α、β、γ倍时，由(2-5)式，任意环境工程量在测量单位前、后的关系为：

量纲的齐次性在测量单位变化前，若所有变量的量纲矩阵可写为

（2-8）

量纲的齐次性则在测量单位变化后，所有变量所取的值可由下式确定：……………（2-9）

式中各个K为：

（2-10）

量纲的齐次性由此得出结论，函数

在测量单位变化时，只有满足（2-11）式才是量纲齐次的。

当有n个基本量时，可类推。

将（2-9）代入（2-7）式，有

（2-11）

量纲的齐次性例：对于不可压缩流体绕球体的流动，其阻力系数可用下面的公式给出（2-12）

按照方程是量纲齐次的定义(2-11)式

（2-13）

当函数f具有下面的形式时，恒等式(2.13)自动满足

（2-14）

量纲的齐次性可以证明，当一方程由很多项组成时，只有在每一项都具有相同的量纲时，此方程才是量纲齐次的。若有一方程

（2-15）

（2-11）式便可写成：

（2-16）

由此可得：

（2-17）

量纲的齐次性而由（2-10）式，有

（2-18）

(2-18)式表明，所有变量y，x1，x2，…，xn均具有相同的量纲。这是方程(2-15)量纲齐次的必要和充分条件。

现在考虑一函数，它是很多变量的指数乘积（2-19）

式中变量y，x1，x2，…，xn的量纲可以用量纲矩阵（2-8）式来表示。量纲的齐次性只有在满足恒等式（2-11）时，方程（2-19）才是量纲齐次的。即

（2-20）

由式2-20可得：

（2-21）

由式2-10可得：

（2-22）

由此可得结论，由变量x1,x2,x3,…,xn的指数乘积组成的函数y若是量纲齐次的，则指数k1,k2,k3,…,kn必定是线性方程组(2-22)的一组解。

白金汉定理白金汉定理白金汉定理对复合齐次函数，

i=1，2，…，m；j=1，2，…，n-1；

选定一空间点

，代入上式后得

，若选定

（i=1，2，…，m），则

，（e=1，2，…，n）

白金汉定理，则，故

白金汉定理令

（e=1，2，…，n）

则：

定理：对于具有m+n-1个自变量的复合齐次函数，可以简化为仅含n-1个自变量的函数。

等价提法：包含m+n个变量的方程至少可以简化为仅含n个变量的方程。

白金汉定理当将上述定理应用至量纲分析中时，就是白金汉π定理。

π定理是白金汉（E.Buckingham）在1914年提出的。它可以表述为：一个反映物理过程的量纲齐次的物理方程可以转换成由这些物理量组成的各无量纲参数间的函数关系。

据上所述，当将定理应用于量纲分析中时，m表示有m个独立的量纲，即基本测量单位；n表示有n个导出单位，这n个导出单位均可由该m个基本测量单位的指数单项式表示。从而经过变换后，原方程就可变换为n个无量纲量之间的函数关系。变换产生的无量纲量

称为π数。

白金汉定理无量纲化方法白金汉定理2坐标x、y、z1浓度c（2-24）式中c为反应器中某一点的浓度，ci为反应器的进口浓度，

c*值在0-1之间。（2-25）L、M及N分别取自x、y及z方向的特征长度，但它们不一定在相应的坐标方向上，彼此间可能相等，也可能不相等。3速度v

（2-26）V为v的特征速度，但不一定在v的方向上。

白金汉定理4微分运算

（2-27）

（2-28）

（2-29）

（2-30）

上面第一式中T代表一个特征时间，这个特征时间可用一个(特征长度/特征速度)来代示，也可用反应器的平均停留时间Θ来代表，当然还可能用量纲为时间的其它参数形式。白金汉定理（2-31）

由上述关系可得出，把原来微分方程中有量纲的量或微分运算转换为无量纲的量或微分运算，可以由原来方程按下面关系直接得出：(原方程)有量纲的量＝无量纲方程有量纲的特征量×无量纲量(原方程)有量纲的微分运算＝(无量纲方程)有量纲的特征量的相应次方×无量纲的微分运算（2-32）

例：有量纲微分方程中的c、x、v、d/dt、d2/dt2分别以cic*、Lx*、Vv*、（V/L）（d/dt*）、（V2/L2）（d2/dt*2）等代替时，则直接得出这些量或运算的无量纲表达式。按上述方法所得出的微分方程中，其中每一项出现一个由特征量组成的参数系数。因而就整个微分方程而言，并不是无量纲的，但这些特征量可以进—步组合成一些无量纲数，因而得到一个完全无量纲的微分方程式。这些无量纲数也就是一般所称的相似准数。

白金汉定理（2-33）

例：对于分散模型方程：先对每一项无量纲化可得：式中：D为纵向分散系数，量纲为长度2/时间，式中出现的U/L和D/L2等系数的量纲为时间-1，因而整个微分方程为有量纲的，但可进一步变换成下列无量纲方程式：（2-34）

白金汉定理D/UL为一个无量纲数，称为分散数，其倒数UL/D则称为Peclet数。微分方程式的无量纲化可以起三方面的作用。第一，可以使微分方程的解简化。第二，可以求出由该微分方程所描述的过程的相似准数，如上例中的分散数即是。第三，可使几个难以分别测量的参数组合成一个较易测量的参数。这三方面基本可用上一例子得到说明。

当分散数D/UL的数值很小以致可以忽略时，原微分方程可用代替；当D／UL比很大，反映反应器中时，原微分方程失去所表达的物理涵义。另外，分散数又是反映反应器纵向分散程度的—个相似准数，同时也为纵向分散系数D的测定提供了一个方法。项很小，浓度梯度可以忽略因次体系的高斯原则实质与度量的变化

实质与度量的变化

所有物理变量都有一个共性即客观性，即从一状态变化到一个新状态的过程是客观的，我们研究的任务就是将其量化，而在量化过程中产生了主观性。这一主观性是不可避免的，对同一现象，不同的研究者可能得出不同的结论，其差别可能来自所采用的计量框架不同，因此数量变化并不代表物理现象一定变化，则有下述定义：

实质变化：指状态空间内从一个状态点移到另一个状态点所对应的变化。度量变化：指在指定的物理空间状态点上由于计量体系的变化所导致的数量变化。

因次体系的高斯原则高斯原则

高斯原则

为了减少主观性，可将某一物理现象的方程描述成两组不同的方程，即第一原则：两组方程（物理方程：形式上不受计量体系的选择干扰；计量方程：形式上不受所论物理现象的干扰）第二原则：计量方程在大量的使用中应形成人的一种本能，从而使其被人们所淡忘。第三原则：在计量体系的选择过程中，必须要保持计量变换的齐次性质。

高斯原则

高斯原则：（1）对任一合理的计量体系，只能选择一定数量的物理量作为基本量，而其它的物理量为导出量；（2）对宏观机械运动，任一合理的计量体系的基本量只能是三个，当宏观与微观热运动相联系时，可增加一个基本量；（3）这些基本量必须是相互独立的；（4）计量体系里基本量的规定给予导出量之间的计量关系不能定义为非齐次的。高斯原则例：按高斯单位体系，其基本量为m（kg），l（m），t（s），则F是kg.m/s2如果规定F为市斤力（Jin），则上式变为，

物理方程改变高斯原则计量方程的物理意义：（1）该方程形式上与所论物理现象无关，可以量纲形式表示；（2）当由一个计量体系变为另一个计量体系是为单位换算关系。计量方程的数学意义：如当某现象如，则则计量方程包括两部分：（1）基本量之间的换算关系，即α倍；（2）导出量之间的换算关系，即β倍。因次体系的高斯原则高斯原则的意义

高斯原则的意义1、奠定了合理的计量体系的理论基础；2、尽可能多地保持了物理方程的客观性；3、按照高斯原则所建立的一切广义的物理公式对应于计量体系的变换都具有齐次性质，从而构成了因次分析理论的基础。3.1概述3.2相似的概念

3.3单值性条件

3.4相似正定理和逆定理

3.5方程分析Π定理

3.6相似准则的导出

相似理论概述目的

1、打破实验的局限性；2、解决原型实验的复杂性；3、实现人类在进行实验的更大野心，把一定条件下得出的实验结果进行类似推广。

爱因斯坦求和约定为了简化对方程的描述和书写所提出的一种约定。

设函数：i：指标或下标；（i，j=1，2，3）式中：——表示物理属性i——代表分量属性——表示向量

爱因斯坦求和约定：（1）方程式中含有两个或两个以上变量的某一项，若指标在其中重复，则该项代表同类项求和，指标取一切可能值。概述

例：（a）（i=1，2，3）

该式代表：（b）综合起来表示为：（i=1，2，3）

（2）方程式中的某项含有指标，但指标不重复，则该方程式代表一个同类方程的集合，每一子方程具有不同的指标值，指标可取一切可能值。概述

例：相似的概念

相似理论的基础是量的线性变换。这种线性变换称为相似变换。

取n个量，若有n个线性函数（3-1）式中系数是变量的变换乘数。是变量集号。表示有N个变量集它们是变量的相似变换。相似的概念上式也可写成：（3-2）这也就是说，是用测量单位为来测量量所获得的数值。(3-2)式是相似变换的第一表示式。相似的概念取n个性质与量相同的参数，便可写出相似变换：（3-3）以3-1式除以3-3式，可得（3-4）相似的概念(3-4)式表明，性质相同的参量和相似变换后，比值不变。(3-4)式是相似变换的第二表示式。之比在经过相似变换(3-1)包括恒等变换，即（3-5）变换(3-1)式具有单值可逆性。即当β一定时，由变量集可决定变量，相反地由变量集可决定变量相似变换(3-1)式用到几何空间或其它表征现象性质的物理量，便可得出几何相似或物理量相似。相似的概念若有N个封闭表面几何相似所围成的空间区域。S1是原始表面。若在原始表面S1上取坐标为任意点A1，可以有表面集中相应的坐标为的相应点，且坐标间的关系为：（3-6）式中，称为几何变换乘数，则表面集称为原始表面的线性相似表面集。(3-6)式便是几何相似的第一表示式。相似的概念若在表面上另取参考点，它们的坐标分别为，若这些点的坐标之间具有下列关系：（3-7）

以3-6式除以3-7式，可得（3-8）

(3-8)式也决定了一线性相似表面集。它是几何相似的第二表示式。相似的概念由封闭的线性相似表面围成的空间区域称为线性相似的空间区域。在表面上或区域中坐标为的点和表面上或区域中坐标为的点，若坐标满足(3-6)或(3-8)式，这些点便称为对应点。同理，把表面上或区域中的两个对应点连接起来的直线段称为对应直线段。若有或则表面或区域称为相似表面或相似区域。在这种情况下，每一个表面都是按一定倍数减小或增加原始表面的相应尺寸得到的，而对应直线段长度之比等于。相似的概念物理量相似设有表征现象性质的量。若有N个连续函数设每个函数在区域中完全确定。同时，区域集是线性相似群。其中，函数称为原始函数。若对于区域中的任何一集对应点，下列关系成立（3-9）式中是函数的变换乘数。对于中的每一，它具有一定的值。这样，函数场便称为相似场。变换乘数也可以看作是用测量单位来测量量得到的数值。相似的概念同样，若在区域中取一参考点，此处的函数为（3-10）则相似变换(3-9)式可化为第二表示式（3-11）相似的概念时间相似如果对应于集号为的现象中，时间和原始时间具有下列关系：（3-12）式中代表时间的变换乘数。时间称为相似时间。(3-12)式便是时间相似变换的第一表示式。同样，若是参考时间，则(3-12)式可化为时间相似变换的第二表示式：（3-13）相似的概念函数场相似若取N个连续函数，其中每一个在区域中都完全确定，并与时间有关：（3-14）若在对应时间，对于区域中的任何一集对应点，具有下列关系：（3-15）则函数场称为相似函数场。式中是函数的变换乘数，它也可看作是用测量单位来测量量时所得到的数值。相似的概念同样，如果给出参量，则第一表示式(3-15)可用第二表示式的形式来表示：（3-16）若函数或

(定常的或非定常的)是性质相同的同类量，式(3-9)(3-11)或式(3-15)(3-16)将确定同类量的相似，或同类相似。

若函数或对不同的

值是性质不同的异类量，则式(3-9)(3-11)或式(3-15)(3-16)将确定异类量相似，或异类相似。

单值性条件一般情况下，按基本模型确定的微分方程式的解对许多具有不同条件的同类或相似物理现象都是正确的通解。为了求得某一特定的具体问题的特解，还必须给出称为“单值性条件”的附加条件。用一组完整的微分方程式和一些单值性条件才能够描述个别的、具体的某个特定的现象。单值性条件能把服从于同一方程组的无数现象，单一地区分出某一具体现象。单值性条件包括几何条件、物理条件、边界条件和起始条件几项。单值性条件几何条件

所有具体现象都发生在一定的几何空间内。因此，参与过程的物体的几何形状和大小是应给出的单值性条件。例如，流体在管内的流动应给出管截面及长度的具体数据，绕某一物体的流动应绘出物体的几何尺寸等。物理条件所有具体现象都是由具有一定物理性质的介质参加进行的。因此，参与过程的介质的物理性质也是单值性条件。例如，对于粘性、不可压缩流体的等温运动，应给出介质密度、粘性系数的具体数值；对于粘性、可压缩流体的不等温运动，则应给出物理参数随温度变化的关系等。

单值性条件边界条件

所有具体现象都必然受到与其直接相邻的边界情况的影响，因此，发生在边界处的情况也是单值性条件。例如，管道进口和出口处流速的分布及数值，壁面处的情况等。如壁面是固壁则不必专门给出，因为壁面处的流体皆附着于壁面，故壁面处的流速皆为零。对于透气壁，则需给出吸入(或排出)速度。对于不等温的流动，还应结出壁面处的温度条件。一般说来，参数u的边界条件可写为：函数在表面S上是己知的。单值性条件起始条件任何过程的发展都直接受到起始状态的影响，即在起始时刻，流速、温度等物理性质在整个系统内的分布将直接影响以后的过程。因此，起始条件也属于单值性条件。对于定常过程则不存在此条件。起始条件是用起始时刻（t=0）区域V中的情况给出。这种条件可用下式表示：上述单值性条件不能随意给出。它们必须同某个微分方程组相联系。在现象相似问题中单值性条件的重要性在于，对于两类现象，仅有微分方程组相似是不够的。不满足单值性条件的相似，这两类现象可以是不相似的。这表明在模型实验中，除几何相似外，还必须满足所有单值性条件相似，才能保证模型实验与实物现象之间的相似。相似正定理和逆定理相对型方程设有一变量集，其中前面k个量是自变量，而其余的个量是应变量（未知量）。假定所考虑的这集量满足方程组：（3-17）取参数集，对每个数恒等式引出相应的变量都可以用下面的（3-18）将此式的右边代入(3-17)式。代入后的方程应包括两类因子。相似正定理和逆定理对将（3-18）代入（3-17）式经改写后的方程除以方程中某一项的由构成的指数函数，则对该项来说系数变为1，而对其余的（m-1）项的系数则得到由指数函数用组成的指数函数。把这些新的（m-1）个来表示，则在完成上述变换后，方程组（3-17）就可以写成下面的形式：（3-19）方程组（3-19）称为方程组（3-17）的第一相对型。相似正定理和逆定理再取性质与变量相同的常量集，用每一个常量相应地引出变量（3-20）将此式的右边代入(3-17)式。中某一项的指数函数，如果对这样改写后的方程除以方程则对该项来说系数变为1，而对其余的（m-1）项来说，则得到（m-1）个新的由组成的指数函数。把这些新的（m-1）个指数函数用来表示，则在完成上述变换后，方程组（3-17）就可以写成下面的形式：（3-21）称为第二相对型。显然，第二相对型方程（3-21）是无量纲方程。相似正定理和逆定理相似正定理定义了相似的现象应该具有什么性质。设有N个性质相同的现象集，其中每一个现象集都是下列量的函数其中是自变量，而其余的m=n-k个量是因变量(未知量)。如果满足完整方程组（3-22）并且商定，对应于角码的现象称为起始现象。相似正定理和逆定理若N个现象集是相似的，即它们是相似现象时，第个现象集的量和起始现象的相应量之间具有下列关系（3-23）方程组(3-22)写成相对型第一相对型：（3-24）第二相对型：（3-25）相似正定理和逆定理对于起始现象，方程组（3-24）可写为（3-26）方程组（3-25）可写为（3-27）比较（3-26）和（3-24）式，可以得到（3-28）比较（3-27）和（3-25）式可得（3-29）对于相似的现象，它们都可以用相同的方程组来描述。各对应量之间具有(3-23)式表示的关系。由此，各相似比例数并且相似准则数对所有现象各自相等。均应等于1，相似正定理和逆定理相似逆定理规定了满足什么条件才能相似。取N个现象，其中每个现象都是变量并且都取决于方程组(3-30)，即的函数，（3-30）其中是自变量，而是应变量，方程组方程式数为第一相对型（3-31）若对于描写N个现象的方程组(3-31)是全同的，即对于N个现象的一集参考点相似正定理和逆定理（3-32）能有：（3-33）并且参数的选取满足（3-34）相似正定理和逆定理这时方程组（3-31）全同。此时对起始现象有而对第集现象有因而可以得到故有上述关系表明，这N个现象是相似的。相似正定理和逆定理（3-30）式还可写成第二相对型，即（3-35）对于起始现象和第集现象可分别写成如果对于N个现象，方程组（3-35）是全同的，则其条件就是对于相似正定理和逆定理能有同时，参量应满足（3-36）式（3-36）则对于N个现象，方程组（3-35）全同。要使由形式相同的完整方程组所确定的现象相似，只要在诸现象的某集参考点上，能实现未知量的这样一种相似变换，使得作为该方程组的第一相对型中出现的相似比例数等于1，或者使得作为上述方程组的第二相对型中出现的相似准则数彼此相等，此外，写成相对型的单值性条件也必须完全相同，则这些现象的相似必然实现。方程分析Π定理方程分析Π定理确定了描述相似现象方程组的解的一般数学结构。若有N个相似的现象，满足完整方程组(3-37)（3-37）同样在这些量中，前面k个量是自变量，而其余的个量是应变量（未知量）方程（3-37）可以写成相对型方程（3-38）（3-38）若方程（3-38）的解存在，则这个解可以写成方程分析Π定理（3-39）即描写相似观象的方程组的解，可以表示为得自该方程组的相似准则数和相似量的一般关系式。方程分析定理规定了一组微分方程的解的一般数学结构。这组微分方程是描写一族相似现象的。量纲分析Π定理规定了那些属于所研究现象的和根据某些理由选出的量之间关系的一般数学结构。相似准则的导出对于相似的现象，它们必然可以用形式上相同的方程组(包括单值性条件)来描述。当把此方程组写成相对型时，各相似比例数应为l，而各相似准则对相似的现象各自相等。现在来讨论如何得出准则。对于所研究的现象，有时可以用微分方程组来描述，有时则因现象十分复杂，只能一般地写出影响现象的物理参量。对应着这两种情况，相似准则的导出也可以有两种方法，即方程分析法和量纲分析法。相似准则的导出方程分析法用方程分析法来导出相似准则是先把描述相似现象的方程组写成相对型，然后得出所有的相似比例数或相似准则。例：x方向上水的运动。x方向上水的运动可用如下的微分方程式描述（3-40）式中：——流速；——方向上的重力加速度分量；——水的密度；——压强；——运动粘度分别取为长度、流速、时间及压强的特征量对式（3-40）进行无量纲化得相似准则的导出（3-41）以乘上式两边得（3-42）比较式（3-41）和（3-42）可知，前者每项仍然包含一个加速度的量纲长度/时间2，而后者则为无量纲的方程式，其中包含了两个一般熟悉的无量纲数：雷诺数弗劳德数相似准则的导出当两个运动的流体系统写成无量纲的描述微分方程式(3-42)后，如果它们的雷诺数及弗劳德数相等，那么，积分后所得到的表达式必然也是同样的形式。如果它们的初始条件与边界条件经同样的无量纲处理也得到同样的形式时，则上述表达式中的积分常数也必然相等。因此，两个流体运动体系具有完全相同的解。这样的两个体系就是相似体系，运动方程式(3-40)对于任何运动流体都是一样的，它并不能表示出体系间的具体关系，而式(3-42)中雷诺数与弗劳德数则能反映具体体系的特征，从而能定出体系间是否相似，因之称为相似准数。相似准则的导出量纲分析法在很多情况下，常常不能写出描述现象规律的微分方程组。这时便不能用方程分析法来导得相似准则。在这种情况下，只要列出影响现象的物理量，便可以用量纲分析法来求得相似准则。量纲分析法是基于量纲齐次的概念。若有n个量，如取前面K个量为基本量，则其余个量的量纲可以用头K个量的量纲来表示（3-43）按照Π理论，上述由n个量确定的现象可以用下面个无量纲量来表征。相似准则的导出（3-44）在水和废水处理、输送等过程中，常把质量、长度和时间作为基本量，并分别用M、L、T来表示其量纲，相应于

，则n个量的量纲可以表示成或者以量纲矩阵来表示（3-44）（3-45）相似准则的导出由式（3-43）就有（3-46）式（3-46）可以写成矩阵形式（3-47）由此可得（3-48）求得后，相应的无量纲系数便由3-44可得相似准则的导出（3-49）例：在水和废水处理中经常遇到的问题是水的流动问题，一般情况下，水是一种具有粘性的不可压缩流体。对于粘性、不可压缩流体的定常恒温运动，影响流动的物理量有：流速、特性尺寸、压力、密度、粘性系数和重力加速度。由于这是不包含温度影响的一般力学问题，故仅需取量纲为M、L、T的三个基本量。首先写出它们的量纲矩阵相似准则的导出如取为基本量，则便可得到下列无量纲量对于P：（欧拉数Euler）对于μ：相似准则的导出对于g：由此可以得到个无量纲量。应该指出，基本量的选择是任意的，但必须是量纲独立的，即任一基本量的量纲不能从其余基本量的量纲导出。对基本量不同的选择得出的是不同的。但是，独立的相似准则的数目是固定不变的(即仍为个)。不同的无量纲量仅是独立的相似准则之间不同的组合而已。4.1准则关系式

4.2满足相似准则的条件

4.3相似理论在水和废水处理中的应用

现象相似与模型实验准则关系式模型实验模型的含义极其广泛。在科学实验中所指的模型是指那些用来实现现象相似的相似模型。在用这样的相似模型进行的实验中，能够再现原来的现象的本质。也就是说，可以用比较简便、迅速的方法相似地再现实物在实际过程中发生的现象。总之，对于原来的现象过大、变化过程太慢、实物试验的费用太昂贵或难于控制的现象，往往广泛地用相似模型来进行实验，以得到实物现象的相似再现。准则关系式通过对流体运动的相似条件进行分析，则可知这些条件包括了几何相似、运动相似及动力相似三个内容：几何相似的涵义是很容易理解的、指两个体系的几何形状相似，这也包括边界的几何形状呈相似关系。但边界的几何相似有时很难得到满足。运动相似必须首先满足几何相似的条件。几何相似只涉及在两个相似体系的对应点上有几何相似的质点(称为对应质点)，由空间坐标即能完全描述。运动相似还要满足一项对应时间的要求。对应时间可以从任何点算起，但以运动开始的对应点为零点较为方便。运动相似定义为：在几何相似的运动体系中，其对应质点在对应时间间隔内所经过的途径为几何相似的。上面的相似尚未涉及力的问题。在对应时间上施加于对应质点的同类力(如同为重力或同为离心力等)称为对应力。当各对应力的比相等时，几何相似的运动体系成为动力相似。在这类质点能够自由运动的流体系统中，运动相似一定引起动力相似。相似理论中，把运动相似、动力相似以及静力相似(指几何相似的固体受力变形的相似)总称为机械相似。准则关系式化学工程中的相似问题包括下列各种情况：几何相似，机械过程，热过程，扩散过程，化学过程等的相似。严格说来，上面所列的每一过程的相似都必须首先满足列在它前面的相似条件。因此，要达到化学过程相似，先必须依次满足几何相似，机械、热以及扩散过程相似的条件。当两个几何相似及运动相似系统的对应温度差(指一系统两点间的温度差与另一系统对比两点间的温度差)的比为定值时则称为热相似。当两个几何相似、运动相似及热相似系统的对应浓度差(即在对应时间，一个系统中两点间的浓度差与另一系统中对应两点的浓度差)的比为定值时。则称为化学相似。相似理论是进行模型试验和整理经验公式的依据。由于化工过程往往很复杂，要把所有的相似准数都考虑在内，是不现实的。而试验物料与实际生产所用物料必须一样，试验设备有时又相当于从原型设备中取出的一个单元(如取0.3×0.3m2的滤池做试验)，这就排除了几何相似的可能。诸如此类的情况，虽然不可能达到严格的相似关系，但可按对于整个过程起主导作用的准数对所得数据进行整理和应用，这就是近似相似的概念。准则关系式准则关系式从量纲分析和相似理论可以知道，在研究物理现象的过程中，如果欲求的物理量y是由n个量纲量决定，则其关系式一般可由下式决定（4-1）若取前k个量作为基本量，其余个量为因变量，则这些物理量之间的关系可以写成无量纲形式（4-2）欲求的无量纲量或未知系数和相似准则之间关系的形式称为准则关系式。量纲分析并不能得出这个关系式的具体形式。通常必须通过理论或实验来建立这个关系式。准则关系式对实验结果的大量分析表明，在一定范围内，准则关系式往往可以采用相似准则指数乘积的形式，即具有如下的形式

（4-3）式中都是常数。如果主要是研究一个相似准则的影响，则准则关系式可写为（4-4）式中也即在实验过程中保持不变，单独改变式（4-4）还可写成，即可得出此结果。（4-5）准则关系式即和呈线性关系。更一般地，式（4-3）可写成（4-6）或（4-7）准则关系式(4-7)在对数坐标表示的图上是一条直线。直线的斜率为，它可以方便地通过对实验数据的线性回归得到。如果要研究两个相似准则起作用的过程，准则关系式可写为（4-8）先在实验中使保持不变值，改变，这时有准则关系式求得常数和后，再在等于固定值条件下进行实验，这时(4-8)式为按同样方法求得及后，使可求得(4-8)式中的常数C或若对(4-8)式取对数，可得到二元线性关系式（4-9）便可采用二元线性回归分析法来求得(4-9)式中的常数及系数准则关系式对于有多个相似准则起作用的情况，若准则关系式（4-3）式成立，则在取对数后可得（4-10）常数C和便可用多元线性回归法来求得。在—般情况下，式(4-3)并不能真正代表实际存在的准则关系式。这时，情况就要更加复杂，通常应根据实际情况来进行分析。实际上，(4-4)式表示的准则关系式只适用于自变量和因变量之间是单调变化的情况。如果它们之间不是单调变化的情况，指数关系式便不能成立。有时它们之间的关系可以用多项式来表示。满足相似准则的条件由相似定理可知，当描述现象的微分方程组形式相同，单值条件相同时，只要相似比例数(或相似准则各自相等)，现象一定相似。由此可知，当描述现象的微分方程组相同时，要使现象相似，首先必须具有相同的单值条件，即边界条件和起始条件应相同。对于定常的现象，主要应具有相同的边界条件。如果现象仅局限在一定的空间，则应保证在所限定的区域边界上具有相同的状况。如果现象扩展到无限空间，则与此相似的现象原则上也应扩展到无限空间。但是，在工程上只要所取的空间足够大，因此而引起的影响很小，可以作为误差来处理时，可以允许取一定的有限空间。为了保证现象相似，还必须使相似比例数恒等于1，即（4-11）或者所有相似准则均应各自相等，（4-12）满足相似准则的条件式（4-11）表明，要保证现象相似，(3-1)式中的变换乘数不能随意选取。它们必须满足(4-11)式。或者说实验中各参数的数值不能随便选取，它们必须满足(4-12)式。下面将会看到，条件(4-11)或(4-12)并不是在任何情况下都能满足的。这时，在原则上现象将不能完全相似。对于简单的运动，这个条件常常可以满足。例如，对于一个质点的运动（4-13）为了保证现象相似，必须有（4-14）或（4-15）这一般是很易满足的。满足相似准则的条件对于不考虑热变换的粘性流体的定常运动，为了保证现象相似，由纳维——斯托克斯方程，应使（4-16）（4-17）（4-18）由（4-16）式，因，故有（4-19）而由（4-17）式，有满足相似准则的条件（4-20）由(4-18)式，当相似现象的温度场相同时，即，便有（4-21）显然，这三者是不能同时满足的，除非采用实物来进行试验，即如果数可以忽略，即相应于不可压缩流体情况，则由(4-19)，(4-20)式可得（4-22）即对于缩比为的模型，模型实验中介质的运动粘性系数应为实物介质的倍。满足相似准则的条件如果数可以忽略，即对于气体流动，由(4-20)，(4-21)式，有（4-23）即在模型实验中介质的运动粘性系数应和模型的几何尺度按相同比例变化。如果数可以忽略，即对于理想流体，有（4-24）即只能用实物进行实验。从上面的例子可以看到，当只有一个相似准则时，模型实验的介质可任意选择，也可以采用与实物同一介质。如对数而言，当时，即可满足数相同的要求，当有两个相似准则必须同时满足时，模型实验中介质的选择就要受到模型几何缩比的限制。如为了满足和数相等，必须有。当有三个或更多个相似准则必须同时满足时，一般情况下是难以达到的，除非采用实物来进行实验。相似理论在水和废水处理中的应用在水和废水处理过程中通常涉及到水的流动、反应器（或构筑物）内混合液的混合、底物在水流主体与液膜之间的传质、气态物质与水流主体间的传质、颗粒物在水流中的下沉与上浮等等，这些现象均可采用相似理论设计模型实验进行研究，更多地在进行一种处理工艺对废水处理效果研究时往往涉