第15章 虚位移原理

第十五章虚位移原理第十五章虚位移原理虚位移原理与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。在静力学中，从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在本章，从位移和功的概念出发，得出虚位移原理——研究平衡问题的最一般原理，可以讨论任意质点系的平衡。平衡杠杆在约束许可的条件下，由水平位置缓慢转动一个很小的角度，问题的引入：杠杆的平衡条件：a、b为两个力的力臂。杠杆可以在任意位置保持平衡。BabAC另一角度：杠杆在新位置仍保持平衡：BabAC1s2s杠杆平衡时，各个作用力在平衡位置附近的约束许可的位移上作功总和为零。则A、B端的位移对于一般质点系也能写出类似的式子作为平衡条件。§15-1约束虚位移虚功约束方程——约束限制条件的数学方程。

一、约束及其分类约束——限制质点或质点系位置和运动的各种条件。根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：1、几何约束和运动约束几何约束——限制质点或质点系在空间几何位置的条件。xyzOM平面单摆lxy(x,y)曲柄连杆机构rlOyxA(xA

,yA)B(xB

,yB)借助其它物体来完成。纯滚动：运动约束——限制质点系运动情况的运动学条件。rAyCxO几何约束：运动约束1、几何约束和运动约束几何约束——限制质点或质点系在空间几何位置的条件。

2、定常约束和非定常约束例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长l0,匀速v拉动绳子。x2+y2=(l0-vt)2

约束方程中显含时间t非定常约束——约束条件随时间变化的约束。定常约束——约束条件不随时间改变的约束。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。MlyxO如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（如运动约束）而且方程不能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。非完整约束方程只能以微分形式表达。3、完整约束和非完整约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，是微分方程，但经过积分可得到（常数），该约束仍为完整约束。在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。4、单面约束和双面约束只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。x2+y2=l2MlOyx刚杆x2+y2l2MlyxO绳OAB只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）OABMF在某瞬时，质点系中的质点在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移。二、虚位移rA

rBrBrA

FOABrBrAM虚位移是线位移时，为矢量，沿点可能轨迹的切线方向。10虚位移与真正运动时发生的实位移不同。实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束允许的条件下可能发生的。FOABrBrAMOrA

ABrBMF11在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。OABdrBrBMvv质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这些关系通常有两种方法：因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。(一)几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即13(二)解析法质点系中各质点的位置矢径：各质点的虚位移在直角坐标上的投影可以表示为：质点系各个质点坐标的变分计算与微分计算一样。14d设OA杆与x轴夹角为。1、几何法[例1]分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知OC=BC=a，OA=l)BOACBrrdArrdPP为BC的速度瞬心。Crrd2解：图中画出各点虚位移，根据图中虚位移方向确定投影的符号。15将C、A、B点的坐标表示成(广义坐标)的函数，得2、解析法对求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：BOAC建立固定坐标系，图中不画各点的虚位移xy16力在虚位移上所作的功称为虚功，记为。3、虚功OABMF机构处于静止的平衡状态，M、F力都不作实功，但，都可作虚功。解析式174、理想约束如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束反力的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。理想约束的数学表达式：3．不可伸长的绳索理想约束：1、光滑固定面约束5．刚性无重二力杆4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）6．固定端2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承7、刚体在粗糙面上的纯滚动18即设质点系处于平衡，对于第i个质点：或记为虚位移原理或虚功原理:§

15-2虚位移原理

对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零。解析式为NiFriFrmiirrd虚功方程平面问题：对于质点系：(1)必要性：即质点系处于平衡时，必有∵质点系处于平衡∴选取任一质点Mi也平衡。对质点Mi的任一虚位移，有由于是理想约束所以对整个质点系：证明：20(2)充分性：即当质点系满足，质点系一定平衡。在方向上产生实位移，取，则对质点系：与前题条件矛盾(理想约束：)若，质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。故时质点系必处于平衡。所以：212、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；二、虚位移原理的应用3、如果系统有摩擦，将其视为主动力，可利用虚位移原理求解22研究对象：手柄、螺杆和压板与s满足如下关系：因是任意的，故解：例15-1如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶(F,F’),其力矩M=2Fl，螺杆的导程为h。求：机构平衡时加在被压物体上的力。FF’2l虚位移：手柄转过，压板下移s不计摩擦，理想约束主动力：

M=2Fl和FNFNsACDBGEFr例15-2图示结构，各杆自重不计，在G点作用一铅直向上的力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。求：支座B的水平约束力。

解：在外力作用下，结构的形状和位置都不发生变化。——不会产生刚体位移。为求B的水平约束力，解除B点水平约束。用相应的约束力FBx来表示。除AE杆外，各个杆均作平面运动，不易建立几何关系，因此采用解析法。ACDBGEFrBxFr结构→→机构，可有位移。约束力FBx→→机构上的主动力。例15-2AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。求：支座B的水平约束力。

解：ACDBGEFrBxFrxy带入虚功方程

ACDBGEFr研究对象：解除约束后的系统解析法：参考坐标系必须固定不动！建立参考坐标系Axy例15-2已知结构受铅直力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。弹簧的刚度系数k，伸长量为0。求：支座B的水平约束力。

解：在外力作用下，结构的形状和位置都不发生变化。——不会产生刚体位移。为求B的水平位移，解除B点水平约束。用相应的约束力FBx来表示。弹簧是非理想约束，弹力属内力，且作功。故去除弹簧，弹力→→机构上的主动力。结构→→机构，可有位移。约束力FBx→→机构上的主动力。ACDBGEFrACDBGEFrBxFrCFrGFr例15-2已知：力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。弹簧：k,0求：支座B的水平约束力。

解：xy带入虚功方程

采用解析法建立参考坐标系AxyACDBGEFrACDBGEFrBxFrCFrGFr研究对象：解除约束和弹簧后的系统例15-3图所示椭圆规机构中，连杆AB长为l，滑块A，B与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求：主动力FA与FB之间的关系。解:

研究对象：滑块A，B与杆组成的系统代入虚功方程：即在A、B

连线上投影相等受力分析：主动力FA、FBArrdBrrd几何法：应用几何法，必须画出虚位移。虚位移之比是大小之比，虚功的正负，由主动力和虚位移的方向来定。例15-3图所示椭圆规机构中，连杆AB长为l，滑块A，B与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求：主动力FA与FB之间的关系。解:

研究对象：滑块A，B与杆组成的系统代入虚功方程：即受力分析：主动力FA、FBArrdBrrd几何法：AB的瞬心PPAB的虚角速度滑块A的虚速度滑块B的虚速度ABxy例15-3图所示椭圆规机构中，连杆AB长为l，滑块A，B与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求：主动力FA与FB之间的关系。解:

研究对象：滑块A，B与杆组成的系统受力分析：主动力FA、FB解析法：建立坐标系得代入虚功方程ABxy例15-3图所示椭圆规机构中，连杆AB长为l，滑块A，B与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求：主动力FA与FB之间的关系。解:

研究对象：滑块A，B与杆组成的系统受力分析：主动力FA、FB解析法：建立坐标系AB得代入虚功方程OABC例15-4如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩M与主动力F之间的关系。hMFra

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