数学建模作业

佛山科学技术学院上机报告课程名称 数学建模 上机项目 人口模型 专业班级 一、 问题提出人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。要求：分别建立并求解两个最基本的人口模型，即：指数增长模型和Logistic模型，并利用表1给出的近两百年的人口统计数据，画出图形拟合数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年的人口。表1人口统计数据年（公元）1790180018101820183018401850人口（百万）3.95.37.29.612.917.123.2年（公元）1860187018801890190019101920人口（百万）31.438.650.262.976.092.0106.5年（公元）1930194019501960197019801990人口（百万）123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4二、问题分析人口的变化受到众多方面因素的影响。人口数量对人类的发展影响也是与日俱增。所以对人口数量的控制和预测也显得尤为重要。就此我们需要找到更好更精确的人口增长模型来预测人口数量。就此，根据题目所给的信息，就美国从1790年至2000年的人口增长入手，用指数增长模型的检验人口增长是否相符，预测人口增长。并改进成阻滞增长模型，并用它预测人口增长。1•先用指数增长模型检验人口增长是否相符。由于经历的时间比较长，所以我们分为长期和短期分别检验。就会发现规律，短期的符合该模型，而长期而言后半期明显计算的增加的比较快。根据这个问题我们找原因。由于资源、环境问题使阻滞增长人口模型人口增加到一定数量时，增长率会减慢。据此改进我们就得到了第二个模型。2•得到第二个模型后先找规律，找关键点。及增长率随时间的变化以及人口容量值。分析人口随时间变化率与人口容量的关系。然后得出人口与时间的关系。最后检验计算值与实际值是否相符，很明显相符的。所以我们就可以用之预测人口数量了。3•分析两模型的优缺点，适用范围，以便我们更广泛明了的使用。模型一：指数增长(Malthus)模型：三、 模型假设：时刻t人口增长的速率与当时人口数成正比，增长率为常数r。以x(t)表示时刻t某地区(或国家)的人口数，设人口数x(t)足够大，可以视做连续函数处理,且x(t)关于t连续可微。符号说明t表示某一时刻；x(t)表示时刻t某地区(或国家)的人口数；r表示人口增长率为常数。四、 模型建立：今年人口x0,年增长率r，k年后人口 x€x(1+r)kk 0指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)基本假设：人口(相对)增长率r是常数x(t)〜时刻t的人口x(t+At)—x(t)€rAtx(t)dx€rx,x(0)€x (1)dt 0x(t)€x(er)t*'a2+b2，x(1+r)t00随着时间增加，人口按指数规律无限增长五、模型求解(显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果)解微分方程(1)得 x(t)€xert (2)表明：F„8时，丿(r>0)模型的参数估计：要用模型的结果(2)来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到•拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790—1980的数据拟合得：r=0.307.模型检验：将x0=3.9，r=0.307代入公式(2)，求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见下图:程序代码:M文件：functionx=renkou1(beta,t)x=3.9*exp(beta.*t);t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=0.1;[beta,r,J]=nlinfit(t',x','renkou1',beta0);betay=renkou1(beta,t)[YY,delta]=nlpredci('renkou1',t',beta,r,J);plot(t,x,'b*',t,YY,'r')error=abs(y-x)'EditorF:\matlsb\3AJntitlcdl.mFileEditTestGoCellToolsDebugDesktopWindciwHelp岀■冶呷e给旨”是•牛旳|归”址抽强!匚ILBd5E-T|j花令:□-1.0 +|■!■1.1X|囁惦；flt- ];T0.- x=[3.95,57,P9.512.917-]P3.?31-43B,65CL262,F76,092.0LW,E]?3.?131-7LEO”；179,320^,0 251-41:brta0=：L]:-'helSjc,J] infit(1.zPnreckonL,betaO):- betai- y=re(nkcai](bet3,1^7- '.Ti.deLta]znlpredci J : enkc-ulJ,1njbeta；,r,J- ploi(t.Jb^J,1,¥¥/ t')a— ercorzabs(y-a)

（根据拟合出的数据和原来数据填写表格）表2实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年（公元）实际人口（百万）指数增长模型计算出人口（百万）误差17903.93.9000018005.34.84440.455618107.26.01761.182418209.67.47482.1252183012.99.28493.6151184017.111.53345.5666185023.214.32648.8736186031.417.795713.6043187038.622.105116.4949188050.227.458222.7418189062.934.107528.7925190076.042.367133.6329191092.052.626839.37321920106.565.371141.12891930123.281.201641.99841940131.7100.865630.83441950150.7125.291525.40851960179.3155.632423.66761970204.0193.320810.67921980226.5240.135913.63591990251.4298.287946.8879（分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长。而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。下需要对该模型进行改进，即阻滞增长模型。）模型二：Logistic模型（阻滞增长模型）模型假设:（a）人口增长率r为人口上）的函数Q（减函数），最简单假定r（x）==-SX,r,S>°（线性模型假设:函数）,r叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量Xm符号说明：r函数）,r叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量Xm符号说明：r表示人口增长率，x（t）表示增长率为r时人口数量Xm表示自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量Xm模型建立:r当x=x时，增长率应为0，即r（x）=0，于是ym mm，代入r0=r-sx得将（3）式代入（1）得:r(x)(、1x

=r1-—Ix丿m1x

…r1—一<x1x

…r1—一<x丿m(4)0模型求解:x(t)=解方程组（4）1+m—解方程组（4）1+m—1e-rtx0丿(5)根据方程(4)dx

作出dt一X曲线图，见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规r=0.2072,r=0.2072,x=464.m利用表1中1790—1980的数据对r和x拟合得:m模型检验:将r=0.2072,x=464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数,m也可将方程（4）离散化，得尸0,1,2,...,x(t+1)…x(t)+Ax…x(t)+r(1一 x(t)尸0,1,2,...,xm用公式(6)预测1800—1990的人口数程序代码:

M文件:functionf=renkou2(beta,t)f=beta(1)./(1+((beta(1)/3.9)-1)*exp(-beta(2)*t))Editor・F:\matlaib\3^®6人匚頊型\「皂门1<0口2巾—口ileEditTextGoCellToolsDebugDesktopWindowHelpsn■I#*® ◎旨档柑程］龍］郢屆相|t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=[10,0.1];beta=lsqcurvefit('renkou2',beta0,t,x);f=renkou2(beta,t)FileEdrtTevtGoCellToolsDtbugDesktopWindowHelp4事就□已■肃巧丨由FileEdrtTevtGoCellToolsDtbugDesktopWindowHelp4事就□已■肃巧丨由「”聲•哗观1初”屆•・■欄1萤品氏 圧工匚曰旦error=abs(f-x)—L0*IIX1洱洱1=0:1;20;x=[3.95.37,29,51Z.917.L23,E3L43氐650.E62,976.092.0]朋・5123,2L31.7L5Q.7L7F.52D4rQ225.525].41:3-betaCt.[LQ?0.1]4-betLsqcuxvefLt「Eenkou2J、betaCi,t,x);5-f=rerikou2(beta,t\6-plotC'tjTtj'r^jtjf)ftrrat=abs(f-x)190076.067.26748.7326191092.083.19498.80511920106.5101.33175.16831930123.2121.32551.87451940131.7142.593410.89341950150.7164.374813.67