大学物理学课件

第2篇热学

第5章气体动理论

本章学习要点分子运动论和统计规律性理想气体状态方程理想气体的压强与温度能量均分定理与理想气体的内能麦克斯韦速率分布律本章小结5.1分子运动论和统计规律性5.1.1分子运动论的基本观点人们在大量实验事实的基础上，对物质的微观结构总结出了以下三个基本观点。

1．宏观物体是由大量分子组成的，分子之间有空隙1mol任何物质都含有相同的分子数，即NA＝6.022×1023/mol。分子之间都存在着一定的空隙。例如，气体很容易被压缩，水和酒精混合后的体积小于两者的原有体积之和等，都说明分子之间存在空隙。

2．分子处于不停息的、无规则的运动状态每个分子在运动过程中都会与其他分子频繁地发生碰撞，从而导致其速度的大小和方向不断变化，这就使整个物体内部的分子都处于一种无规则运动状态。分子无规则运动的剧烈程度与物体的温度有关，温度越高，无规则运动越剧烈，因此，分子的无规则运动又称为热运动。

3．分子之间存在着相互作用力分子之间同时存在着引力和斥力，这两种力的合力称为分子力，它们都与分子间的距离r有关，如右图所示。

当r＝r0时，F合＝0，引力和斥力相互平衡；当r＜r0时，F合＞0，分子力表现为斥力；当r＞r0时，F合＜0，分子力表现为引力。随着r的减小，斥力急剧增大，这就是液体和固体很难被压缩的原因。

5.1.2统计规律性大量偶然随机事件的整体具有确定的规律性，这种规律性称为统计规律。满足统计规律性的前提是必须有大量的事件。参与的事件数目越多，规律性就越明显。一定量的气体中所包含的分子数是非常大的，虽然每个气体分子可能会以任意数值的速率运动，但对大量气体分子组成的整体来说，在一定温度下，各种速率的分子数在所有分子中所占的比例却遵循着确定的统计规律。

5.2理想气体状态方程在研究与分子热运动有关的问题时，通常将作为研究对象的物体或物体系称为热力学系统，简称系统。系统的状态及其变化规律即为所要研究的内容。在系统外部，与系统的状态及其变化直接有关的一切称为系统的外界。

5.2.1宏观态与微观态在气体系统中，我们把描述大量分子集体特征的物理量称为宏观量；把描述单个分子特征的物理量称为微观量。宏观量可用仪器直接测量；而微观量很难用仪器直接测量。大量分子集体所处的状态称为宏观态；由系统中所有分子的微观特征来确定的状态称为微观态。宏观态与微观态是紧密联系着的。

5.2.2平衡态宏观态可分为平衡态和非平衡态。在容器中盛有一定量的气体，如果它与外界没有能量和物质交换，且系统内部也没有任何形式的能量转移，那么，经过一段时间后，容器中气体的密度、温度、压强等将处处相等，不再随时间发生变化，系统的这种状态称为平衡态。否则，称为非平衡态。系统处于平衡态时，虽然其宏观性质不再随时间变化，但从微观角度看，组成系统的分子仍在不停地运动着，只不过大量分子运动的平均效果不随时间变化。因此，热学中的平衡是一种动态平衡，称为热动平衡。平衡态只是一种理想的情况。在一定条件下，将实际问题概括和抽象为平衡态，可使问题简化。

5.2.3气体的状态参量在热学中，用压强p、体积V和温度T来描述气体的状态，这三个物理量称为气体的状态参量。

1．压强p

气体的压强p是指气体垂直作用在容器壁单位面积上的压力，即

在国际单位制中，压强的单位为帕斯卡（Pa），1Pa＝1N/m2。压强还有另外两种常用的单位：标准大气压（atm）和毫米汞柱（mmHg），1atm＝1.013×105Pa＝760mmHg

2．体积V

气体的体积V是指气体分子做无规则热运动时所能达到的空间范围，忽略气体分子的大小，容器的体积就是气体的体积。在国际单位制中，体积的单位为立方米（m3）。有时，体积的单位也用升（L），1L＝10–3m3。

3．温度T

温度是表示物体冷热程度的参数。温度的高低，反映了气体内部大量分子热运动的剧烈程度。温度的数值标定方法称为温标。常用的温标有两种：热力学温标（绝对温标）T和摄氏温标t。

热力学温标是最基本的温标。在国际单位制中，热力学温度的单位为开尔文（K）。摄氏温标中，摄氏温度的单位为摄氏度（℃）。两种温标之间的关系为：T＝t+273在热力学温标中，每一度的间隔与摄氏温标相同，即用两种温标测得的温差相等。

5.2.4理想气体状态方程中学物理中已经介绍过气体的三条实验定律，即玻意耳定律、盖·吕萨克定律和查理定律，这三条定律是在温度不太低、压强不太大的实验条件下总结出来的。我们把在任何情况下都能严格遵守三条实验定律的气体称为理想气体。理想气体是一种理想模型。实验证明，很多实际气体，如空气、氧气、氮气等，在温度不太低、压强不太大时，都可近似当作理想气体。在平衡态时，对于质量为M、摩尔质量为μ的理想气体，其压强p、体积V和温度T之间的关系为：

上式称为理想气体状态方程。

在气体动理论中，常采用理想气体状态方程的另一种形式。设所研究的气体中含有N个分子，每个分子的质量为m，则M＝Nm，μ＝NAm，代入上式，可得：

上式中，为单位体积中气体的分子数，称为分子数密度。因R与NA都为恒量，故两者之比仍为恒量，称为玻尔兹曼常数，用k表示，即

于是，理想气体状态方程可写为另一种形式：

【例5-1】容器中装有氧气，压强为5.7×105Pa，温度为47℃，质量为58g，由于容器漏气，经过一段时间后，压强减小到原来的9/10，温度下降到27℃。求容器的容积及所剩余氧气的质量。【解】（1）由理想气体状态方程可得容器的容积为：（2）容器漏气后，压强p2＝0.9×5.7×105＝5.13×105Pa，温度T2＝300K，则容器中剩余氧气的质量为：

5.3理想气体的压强与温度5.3.1理想气体的微观模型理想气体宏观模型的特点为在任何情况下都能严格遵守三条实验定律；而理想气体微观模型的特点主要有以下几点。1．分子本身的线度与分子间平均距离相比，可以忽略不计，故理想气体分子可看作质点，其运动遵循牛顿运动定律。2．除碰撞的瞬间外，分子之间以及分子与器壁之间都无相互作用，因此，两次碰撞之间，分子的运动可当作匀速直线运动。3．分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞，遵守动量守恒定律和能量守恒定律。这样，理想气体可看作是由大量自由的、无规则运动的弹性分子组成。

5.3.2平衡态气体的统计假设气体处于平衡态时，就大量分子的集体统计平均来看，分子在空间的分布是均匀的，且分子向各个方向运动的机会是均等的。因此，对于平衡态气体系统中的大量分子，可作如下统计假设：1．容器中单位体积内的分子数处处相等。2．分子运动速度在各个方向上的分量的平方平均值相等，即

5.3.3理想气体的压强公式如下图所示，设在边长分别为l1、l2和l3的长方形容器内装有某种气体，其中共有N个气体分子，每个分子的质量为m。

设容器中第i个分子的速度为vi，vi在直角坐标上的速度分量为vix、viy和viz。当第i个分子与A1面碰撞后，其速度在x轴的分量由vix变为－vix。碰撞前后，第i个分子在x轴方向的动量增量（－mvix）－mvix＝－2mvix。根据动量定理可知，A1面作用于分子i的冲量为－2mvix。又根据牛顿第三定律可知，分子i作用于A1面的冲量为2mvix，其方向沿x轴正向。

分子i从A1面弹回后，飞向A2面，与A2面碰撞后弹回又与A1面碰撞。在与A1面的两次碰撞之间，分子i沿x轴方向所经过的距离为2l1，经历的时间为2l1/vix。因此，单位时间内，分子i与A1面碰撞的次数为vix/2l1。这样，单位时间内，分子i作用于A1面的总冲量为：

即分子i作用于A1面的平均冲力为：

整个容器内N个分子作用于A1面的总平均冲力为：

上式中，为容器内N个分子沿x轴速度分量平方的平均值，用表示，于是上式可写为：

A1面受到的压强为：因一个分子速度的平方关系为vi2＝vix2＋viy2＋viz2，则对于N个分子，有

根据统计假设可知

故

于是

上式中，为气体分子的平均平动动能，则

上式即为理想气体的压强公式。它表明，理想气体的压强与分子数密度和气体分子平均平动动能成正比。

理想气体的压强公式是一个统计规律。气体压强是大量分子热运动的集体表现，具有统计意义，对个别分子谈压强是没有意义的。

5.3.4理想气体的温度公式将理想气体状态方程和理想气体压强公式相比较，可得：

上式即为理想气体的温度公式。它表明，理想气体的热力学温度与气体分子的平均平动动能成正比。由于气体的温度是气体分子平均平动动能的量度，而气体分子平均平动动能的大小表示分子热运动的剧烈程度，所以，气体的温度是表征大量分子热运动剧烈程度的物理量。理想气体的温度公式也是一个统计规律。气体温度也是大量分子热运动的集体表现，也具有统计意义，对个别分子，说它的温度是多少是没有意义的。

将代入上式中，整理可得：

称为方均根速率，是气体分子运动速率的一种统计平均值。它与分子平均平动动能（或气体温度）及分子质量密切相关，是气体分子运动研究中的常用物理量。

【例5-2】有1023个质量为5×10–26kg的气体分子，贮于容积为1m3的容器内，已知气体分子的方均根速率为400m/s，求气体的压强和温度。【解】（1）根据式（5–8）可得气体的压强为：（2）根据式（5–9）可得气体的温度为：

5.4能量均分定理

与理想气体的内能5.4.1自由度

自由度是指确定物体在空间的位置所需的独立坐标数目。对气体分子而言，若忽略其本身的大小和结构，把它当作质点，则它只有上述的平动自由度。若考虑分子的大小和结构，则除平动自由度外，它还有相应的转动自由度和振动自由度。但通常分子内部的振动只有在高温下才显著，因此，在常温下，可把气体分子看作是刚性分子，不考虑其振动自由度。本书在讨论时都把气体分子看作是刚性分子。

单原子分子，如He、Ar等，可看作自由运动的质点，有三个平动自由度，如左图所示。

双原子分子，如O2、H2、CO等，其两个原子由一个分子键连接起来。在把气体分子看作是刚性分子，不考虑其振动自由度的情况下，确定其质心位置需要三个独立坐标（x、y、z）；确定连线绕质心转动时连线在空间的方位，需用方位角α、β两个独立坐标，如右图所示。这样，双原子分子共有五个自由度，其中，三个为平动自由度、两个为转动自由度。

多原子分子，如H2O、CO2、CH4等，除了确定其质心位置需要三个自由度，确定通过质心的转轴方位需要两个自由度外，还需一个独立坐标，以确定整个分子绕转轴转动的角度φ，如下图所示。这样，多原子分子共有六个自由度，其中，三个为平动自由度、三个为转动自由度。

5.4.2能量均分定理理想气体分子的平均平动动能为：

由于及，故可得：

上式表明，分子的平均平动动能均匀地分配在每一个平动自由度上，即分子的每一个平动自由度上具有的平动动能都为kT/2。上述结论还可推广到分子的转动和振动上。在温度为T的平衡态下，分子任何一个自由度上的平均能量都相等，均为kT/2。这个结论称为能量按自由度均分定理，简称能量均分定理。

根据能量均分定理，在常温下，如果某种理想气体分子的自由度为i，则该分子的平均能量为：

于是，对单原子分子

对双原子分子

对多原子分子

能量均分定理也是一条统计规律，它是对大量分子进行统计平均的结果，对个别分子来说并不成立，因为在某一瞬时，某个分子的各种运动形式的能量不一定按自由度均分。能量均分定理不仅适用于气体，而且也适用于液体和固体。它可根据统计物理的基本原理进行理论证明。

5.4.3理想气体的内能气体的内能是指气体内部所有分子动能与势能的总和。对理想气体，由于分子间的相互作用力和常温下分子内原子间的振动势能可忽略不计，因此，理想气体的内能是气体内所有分子的动能总和。

若理想气体分子的自由度为i，1mol理想气体含有NA个分子，则1mol理想气体的内能为：

若理想气体的质量为M、摩尔质量为μ，则其内能为：

上式表明，一定量理想气体的内能只与气体分子的自由度及气体的温度有关，而与气体的体积和压强无关。因此，对于给定的理想气体，其内能是温度的单值函数。

【例5-3】已知在273K，0.01atm下，容器内装有一理想气体，其密度为1.24×10-2kg·m-3。求：（1）气体的摩尔质量；（2）气体分子的平均平动动能和转动动能；（3）单位体积内分子的平动动能。【解】（1）根据理想气体的状态方程，可得气体的摩尔质量为：（2）按能量均分定理，分子在每一个自由度的平均能量为kT/2。根据其摩尔质量为28g/mol，可知该气体应该是N2或CO，它们都是双原子分子，都有三个平动自由度及两个转动自由度，故气体分子的平动动能为：

气体分子的转动动能为：

（3）单位体积内分子的平动动能为：

将p=nkT与上式联立，可得单位体积内分子的平动动能为：

5.5麦克斯韦速率分布律5.5.1速率分布函数设在平衡态下，有一定量的气体，其分子总数为N。若在速率区间v～v＋Δv内的分子数为ΔN，则ΔN/N表示速率分布在这一区间内的分子数占总分子数的比率。显然，比率ΔN/N一方面与速率v有关，即与v的函数成正比；另一方面与速率区间Δv的大小成正比。为便于比较，用ΔN/N除以Δv得ΔN/（NΔv），它表示区间v～v＋Δv内单位速率间隔中的相对分子数。当Δv→0时，ΔN/（NΔv）的极限是速率v的函数，称为速率分布函数，用f（v）表示，即

确定了f（v）后，可以通过积分求出在任意有限速率范围v1～v2内的气体分子数占总分子数的比率，即

由于全部分子的速率百分之百的分布在0～∞的整个范围内，故

上式称为速率分布函数的归一化条件。

5.5.2麦克斯韦速率分布律1859年，麦克斯韦从理论上推出，在平衡态下，理想气体速率分布函数的表达式为：上式也可写为：

上式称为麦克斯韦速率分布律，它反映了在平衡态时气体分子速率的分布规律。

为了形象地描述气体分子速率的分布情况，可画出f（v）与v的曲线，称为速率分布曲线，如下图所示。

右图中，任一区间v～v＋Δv内曲线下的小长方形面积表示速率分布在这一区间的分子数占总分子数的比率，即f（v）dv＝dN/N。

由上图所示可以看出，从原点出发，f（v）随v的增大而变大，经过一个极大值后，随v的增大，f（v）减小并渐近于横轴。这表明气体分子速率具有从零到无限大的一切可能值，其中，具有中等速率的分子所占的比率很大，而具有较大和较小速率的分子所占的比率都很小。

5.5.3三种统计速率1．最概然速率速率分布曲线中，与f（v）的极大值对应的速率称为最概然速率，用vp表示。它的物理意义是，如果把整个速率范围分成许多相等的小区间，则在温度为T的平衡态下，分布在vp附近单位速率间隔内的分子比率最大。要确定vp，可令f（v）对v的一阶导数为零，即

则可解得最概然速率为：

由上式可知，对于给定的气体，温度增高时，最概然速率vp增大，速率分布曲线的峰值位置向右移动，但根据归一化条件，速率分布曲线下的总面积是不变的，所以速率分布曲线的高度将降低，整个曲线变得比较平坦，如下图所示。

2．平均速率气体分子速率的算术平均值称为分子的平均速率，用表示，即

3．方均根速率气体分子的方均根速率在第5.3.4节中已经从气体的温度公式中导出，此处，用麦克斯韦速率分布函数f（v）也可求出其表达式，即

整理得：

由上述计算可知，以上三种速率都具有统计意义。比较这三种速率可以看出，它们都与成正比，与或成反比；其数值大小顺序为：＞