沪教版高一数学3.1 函数的基本概念 讲义（无答案）

7/77/77/7第九讲：函数的概念【引例】下面我们举例对函数关系作进一步的分析,以便引入更为确定的语言来表达函数概念.〔1〕在研究学生好奇心指标随年龄增长的变化规律时,通过某次实验得到的数据如下图.在这个图像中,给定10~15岁的每一个年龄〔以岁为单位〕,就对应一个好奇心指标.你能这个图中了解到哪些信息？〔2〕农业科学家研究玉米的生长过程,把生长过程分为31个时间段,通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据,如图.在玉米生长的31个时间段内,给定生长的某个时间段,就可从这张图中查到与这个时间段相应的玉米植株的高度.〔3〕下表列出了我国从2019年到2019年,每年的国内生产总值.年份生产总值〔亿元〕2019783452019820672019894422019959332019102398在这张表中给定2019年到2019年中的任一年,都可从表中查到当年的国内生产总值.〔4〕电路中的电压,电流与电阻之间的变化规律,用欧姆定律表示,即这个公式说明,在电路中,电压〔〕不变,电流〔〕与电阻〔〕的变化成反比例关系只要测出电路中的电阻值,就可由上述公式计算出唯一的电流值.1.什么是函数？试评注函数的要素.如果在某个变化的过程中有两个变量,并且对于在某个范围内的每一个确定的值,按照某种对应法那么,都有唯一确定的值和它对应,那么就是的函数,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域,和对应的的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域,是的函数,记作.2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然,值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．[探究]假设两个函数的定义域与值域都相同,它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1,其定义域与值域完全相同,但不是同一个函数；再如y＝sinx与y＝cosx,其定义域都为R,值域都为[－1,1],显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同,所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．常见根本初等函数的定义域：(1)分式函数中分母不等于零。(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0。(3)一次函数、二次函数的定义域均为R。(4)y＝ax(a＞0且a≠1),y＝sinx,y＝cosx,定义域均为R.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0,＋∞)．(6)y＝tanx的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x≠kπ＋\f(π,2),k∈Z)).(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约．3．相等函数如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数为相等函数．例1求以下函数的定义域：〔1〕； 〔2〕；〔3〕.练习1〔1〕；〔2〕； 〔3〕.例2判断以下各题两函数是否为同一函数？〔1〕,；〔2〕,；〔3〕,；〔4〕,.练习2判断以下各题两函数是否为同一函数？〔1〕,；〔2〕,；〔3〕,.练习3有以下判断：(1)f(x)＝eq\f(|x|,x)与g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,x≥0,－1,x<0))表示同一个函数．(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个．(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．(4)假设f(x)＝|x－1|－|x|,那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝0.其中正确判断的序号是________．例3求函数,,在处的函数值和值域.练习4设集合M＝{x|0≤x≤2},N＝{y|0≤y≤2},给出以下4个图形,其中能表示定义域为M,值域为N的函数关系的有________(填序号)．例4〔1〕假设是一次函数,且,,求的解析式；〔2〕函数,求；〔3〕函数,求.练习5〔1〕,求,；〔2〕,求；〔3〕,求.课堂练习〔1〕判断以下曲线所确定的与之间的关系,哪些是函数关系〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔2〕作出以下函数的图像并求出其值域：〔3〕设是任意的一个实数,是不超过的最大整数,试问和之间是否是函数关系？如果是,画出这个函数的图像.复合函数的定义域和值域问什么是复合函数？[说明]〔1〕复合函数的定义域,就是复合函数中的取值范围。〔2〕称为直接变量,称为中间变量,的取值范围即为的值域。〔3〕与表示不同的复合函数。〔4〕假设的定义域为,那么复合函数中,．注意：的值域.例5函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1,x<1,,x2＋ax,x≥1,))假设f(f(0))＝4a,那么实数a等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,5)C．2 D．9练习6设函数,求．练习7〔1〕假设函数的定义域是,求的定义域；〔2〕假设的定义域是,求函数的定义域；〔3〕定义域是,求定义域.〔4〕函数定义域是,求实数的取值范围.练习8函数定义域是,求的定义域.【试总结复合函数求定义域的题型和方法】例6〔1〕求；〔2〕,求.练习9〔1〕,求；〔2〕,求.〔3〕设函数的定义域为,那么函数的定义域为；函数的定义域为________；〔4〕假设函数的定义域为,那么函数的定义域是；函数的定义域为。〔5〕知函数的定义域为,且函数的定义域存在,求实数的取值范围。【试总结复合函数求解析式的题型和方法】例7〔1〕是一次函数,满足,求；〔2〕,求.练习10〔1〕,求和；〔2〕,求.〔3〕设的定义域是,求的定义域.练习11(1)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x),求出f(x)的解析式．(2)假设f(x)为二次函数且f(0)＝3,f(x＋2)－f(x)＝4x＋2,试求出f(x)的解析式．问什么是分段函数？试总结几种常见的分段函数类型.假设函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个局部组成,但它表示的是一个函数．例8设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c,x≤0,,2,x>0.))假设f(－4)＝f(0),f(－2)＝－2,那么关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．练习12写出以下函数的解析式并作出函数的图像：〔1〕设函数,当时,；当时,；〔2〕设函数,当时,；当时,；当时,例9函数,满足,且,.求,,,,.练习13一个函数的定义域为区间,当时,对应法那么为,当时,对应法那么为,试用解析法与图像法分别表示这个函数.练习14函数,〔1〕求,,的值；〔2〕假设,求实数的值；〔3〕假设,求实数的取值范围.练习15〔1〕设定义在上的函数,求的值.〔2〕定义新运算：当时,；当时,.函数,,,求实数的值.课堂练习1.假设函数的定义域是,那么函数的定义域是_______________.2.作出以下函数的图像：〔1〕； 〔2〕； 〔3〕；〔4〕； 〔5〕； 〔6〕.3.自变量与因变量之间有以下关系,写出函数表达式,并作出各函数的图像：〔1〕； 〔2〕.4.〔1〕函数,满足,且,,求,,.〔2〕函数,满足,且,,求,,,.5.作函数的图像,并求,,,.6.某学生离开家去学校,为了锻炼身体,开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.图中轴表示离学校的距离,轴表示所用的时间,那么符合学生走法的只可能是 〔〕7.函数,假设,求的值.11.记为中的最小者,设,假设,求.9．以下各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．①y1＝eq\f(x＋3x－5,x＋3),y2＝x－5；②y1＝eq\r(x＋1)eq\r(x－1),y2＝eq\r(x＋1x－1)；③f(x)＝x,g(x)＝eq\r(x2)；④f(x)＝eq\r(3,x4－x3),F(x)＝xeq\r(3,x－1)；⑤f1(x)＝(eq\r(2x－5))2,f2(x)＝2x－5.10．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是________．11．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2x≤－1,,x2－1<x<2,,2xx≥2,))假设f(x)＝3,那么x的值为________．12．函数y＝的定义域为________．13．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1x≥0,x2x<0)),g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x2x≤1,2x>1)),那么f[g(3)]＝________,g[f(－eq\f(1,2))]＝________.14．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2,x<1,,x2＋ax,x≥1,))假设f(f(0))＝4a,那么实数a＝______.15．(1)假设f(x＋1)＝2x2＋1,求f(x)的表达式；(2)假设2f(x)－f(－x)＝x＋1,求f(x)(3)假设函数f(x)＝eq\f(x,ax＋b),f(2)＝1,又方程f(x)＝x有唯一解,求f(x)的表达式．作业1.函数的定义域为_______________.2.设是一次函数,且,那么.3.函数的定义域是,那么其值域是_______________.4.假设,为一个正常数,且,那么.5.假设函数,,分别由下表给出：123131123321那么的值__________________；满足的的值__________________.6.以下各组函数中,表示同一函数的是 〔〕A．与；B．与；C．与；D．与；7.假设,那么以下等式成立的是 〔〕A．； B．； C．； D．.8.,,求的解析式.9.函数,〔1〕求,的值；〔2〕求的值；〔3〕求的解析式.1