matlab 第4章 符号数学基础-王文杰

教学内容第1章 MATLAB概论第2章 矩阵运算基础第3章 数值计算基础第4章 符号数学基础第5章 基本图形处理功能第6章 高级图形处理功能第7章 图形用户界面设计第8章 M文件程序设计基础第9章 Simulink基础14.1符号对象的创建4.2符号表达式的化简和替换

4.3符号微积分4.4符号方程的求解4.5符号数学的简易绘图函数4.6图形化符号函数计算器4.7Taylor级数计算器第4章符号数学基础内容提要：2符号运算数值计算参与运算的变量是被赋值的数值变量,用于数值的存储和各种数值的计算。参与运算的变量是符号变量,用于形成符号表达式,进行各种运算,给出解析表达式的结果3例:求多项式的根a=[12-3];r=roots(a)r=-3.00001.0000symsabcxs=a*x^2+b*x+c;r=solve(s)r=1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))4

主要功能：符号表达式的创建、符号矩阵的运算、符号表达式的化简和替换、符号微积分、符号代数方程、符号微分方程、符号函数绘图符号数学工具箱：SymbolicMathToolbox54.1符号对象的创建

6symsvar1var2…varn4.1.1创建符号变量和表达式

创建一个符号变量var，并初始化。表示内容可以是字符、字符串、表达式var=sym（’x表示内容’）一次定义多个变量说明:

变量间用空格而不要用逗号分隔7例:exp4_1.ma=sym('a')b=sym('hello')c=sym('(1+sqrt(5))/2')y=sym('x^3+5*x^2+12*x+20')例:exp4_1_1.m创建符号表达式“b^2-4*a*c”，并赋值给符号变量dtdt=sym('b^2-4*a*c')8例:exp4_1_2.m比较符号常数与数值k1=sym('8');k2=sym('2');r1=8,r2=2;sqrtk=sqrt(k1)sqrtr=sqrt(r1)sqrt(k1+sqrt(k2))sqrt(r1+sqrt(r2))sqrtk=2*2^(1/2)sqrtr=2.8284ans=(8+2^(1/2))^(1/2)ans=3.06839symsabcxy=a*x^2+b*x+c10使用sym和syms函数直接输入创建符号矩阵可以与数值矩阵相互转换4.1.2创建符号矩阵数值矩阵转换为符号矩阵—sym(x)符号矩阵转换为数值矩阵--double(x)11例:exp4_3.msymsabcdn=[abcd;bcda;cdab;dabc]例:exp4_4.m将3阶Hilbert矩阵转换为符号矩阵h=hilb(3)h1=sym(h)h2=double(h1)12h=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000h1=[1,1/2,1/3][1/2,1/3,1/4][1/3,1/4,1/5]注意:数值矩阵和符号矩阵的区别例:exp4_4.m将3阶Hilbert矩阵转换为符号矩阵h=hilb(3)h1=sym(h)13MATLAB以最接近字符x的顺序排列默认自变量；若与x相同距离，则在x后面的优先；大写字母比所有的小写字母都靠后。i,j表示虚数单位，因此不能作为自变量4.1.3默认符号变量14可用findsym函数对默认自变量进行查询findsym（f）按字母顺序排列表达式f中全部自变量findsym（f，n）按最接近变量x的顺序排列f中的前n个自变量15例4-3:创建符号变量a、b、n、x和t，建立函数f=axn+bt，并求f的默认自变量。symsabntx;f=a*x^n+b*t;f1=findsym(f,1);f2=findsym(f,2);f3=findsym(f,5);f4=findsym(f)f1=xf2=x,tf3=x,t,n,b,af4=a,b,n,t,x164.2

符号表达式的化简和替换

17因式分解：函数为：factor,调用格式：factor(S),在这里可以使用函数pretty将符号表达式按照书写的习惯方式显示。如果S的所有元素为整数，则计算其最佳因数分解

符号表达式的展开：函数为：expand(S)符号表达式的同类项合并：函数为：collect(S,n)将符号表达式S中自变量n的同次幂系数合并4.2.1符号表达式的化简18符号表达式的化简：提供了两个化简函数，分别是simple和symplify函数simplify的调用格式为：simplify(S),化简函数，使用Maple化简规则。Simple尝试采用多种算法以寻求最简形，其调用格式：[r,how]=simple(S),返回S最简形式，r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法19simple函数使用的化简方法simplify:函数对表达式进行化简radsim:函数对含根式的表达式进行化简combine:函数将表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并collect:合并同类项factor:函数实现因式分解convert:函数完成表达式形式的转换expand:符号表达式的同类项合并20例4-4:简化

syms

x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);[g1,how]=simple(f)[g2,how]=simple(g1)g1=(2*x+1)/xhow=radsimpg2=2+1/xhow=expand21符号表达式的分式通分：函数为[n,d]=numden(S)将符号表达式转换为分子和分母都是整系数的最佳多项式。n分子,d分母。符号表达式的嵌套式重写：函数horner(S)将符号表达式S转换为嵌套形式。22例4-5:对表达式进行通分n=y^2-x^2

d=x*ysymsxy;f=y/x-x/y;[n,d]=numden(f)23例4-6:对下列表达式进行嵌套形式重写ans=-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*xsymsx;f=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f)24subexpr:将表达式中重复出现的字符串用变量代替;调用格式：[Y,SIGMA]=subexpr(S,SIGMA)此函数用变量SIGMA的值代替符号表达式S中重复出现的字符串，Y返回替换后的结果。Subs:用指定符号替换符号表达式中的某一特定符号;调用格式:

R=subs(S,old,new)。当变量new是数值形式时，所显示的结果虽然是数值，但它事实上仍然是符号变量。4.2.2符号表达式的替换25symsax;f=a*sin(x)+5;

f1=subs(f,'sin(x)',sym('y'))class(f1)f2=subs(f,{a,x},{2,sym('pi/3')})class(f2)f3=subs(f,[a,x],[2,pi/3])class(f3)例4-7:

subs的置换规则演示。符号表达式置换(sin(x)被y置换）符号常数置换（a被双精度数字2置换，x被符号数字置换）双精度数值置换26f1=a*y+5ans=sym

f2=3^(1/2)+5ans=symf3=6.7321ans=double274.3

符号微积分

28limit(f)limit(f,a)limit(f,x,a)limit(f,x,a,’right’)limit(f,x,a,’left’)注：∞在MATLAB中表示为inf4.3.1符号极限29例4-8：试求symsxkf;f=(1-1/x)^(k*x);Lim_f=limit(f,x,inf)Lim_f=exp(-k)304.3.2

符号微分

diff(S)：求符号表达式S对默认变量的微分diff(S,v)：求符号表达式S对变量v的微分diff(S,n)：求符号表达式S对变量x的n次微分31clearsymsxg=sym('cos(x+sin(y(x)))=sin(y(x))');dgdx=diff(g,x)例4-9：对下列方程（即隐函数）求导dgdx=-sin(x+sin(y(x)))*(1+cos(y(x))*diff(y(x),x))=cos(y(x))*diff(y(x),x)324.3.3

符号积分

int(S)：求符号表达式S对于默认自变量的不定积分int(S,v)：求符号表达式S对于自变量v的不定积分int(S,a,b)：求符号表达式S对于默认自变量从a到b的定积分33例:symsxf=sin(x)/(x^2+4*x+3);f1=diff(f);f2=int(f1);f3=simplify(f2)f1=cos(x)/(x^2+4*x+3)-sin(x)/(x^2+4*x+3)^2*(2*x+4)f2=1/2*sin(x)/(x+1)-1/2*sin(x)/(x+3)f3=sin(x)/(x+1)/(x+3)34例:symsxyf=x*exp(-x*y);int(int(f,'x'),'y')ans=1/y*exp(-x*y)f=int(int('x*exp(-x*y)','x'),'y')int(int(f,x),y)35symsum(S):计算符号表达式对于默认自变量的不定和symsum(S,v):计算符号表达式对于自变量v的不定和syssum(S,a,b):

计算符号表达式对于默认自变量从a到b的有限和。4.3.4符号求和36symsuxsymsum(u)p=symsum(u^2,0,5)m=symsum(x^u/sym('u!'),u,0,inf)ans=1/2*u^2-1/2*up=55m=exp(x)例4-10：分别计算表达式：37Taylor(f)

：计算符号表达式f在默认自变量等于0处的5阶taylor级数展开式。Taylor(f,n,v)：计算符号表达式f在默认自变量v=0处的n-1阶taylor级数展开式。Taylor(f,n,v,a)：计算符号表达式f在默认自变量v=a处的n-1阶taylor级数展开式。4.3.5Taylor级数展开38例:计算f=sin（x）的5阶和9阶Taylor级数展开式symsxtaylor(sin(x))taylor(sin(x),10)ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^939例:x=sym('x');f=1+3*x+5*x^2-2*x^3;f1=taylor(f,x,-1)f1=-8-13*x+11*(x+1)^2-2*(x+1)^3404.4

符号方程的求解

41g=solve(eq)：求解符号表达式eq=0的代数方程，自变量为默认自变量。g=solve(eq，var)：求解符号表达式eq=0的代数方程，自变量为var。g=solve(eq1,eq2,var1,var2)：求解符号表达式eq1,eq2组成的代数方程组，自变量为var1,var2。4.4.1

符号代数方程的求解42例exp4_21.m

:f=ax2+bx+c求解symsabcxs=a*x^2+b*x+c;solve(s)ans=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]思考:solve(s,b)呢?ans=-(a*x^2+c)/x43例exp4_22.m

:求下列代数方程组的解symsxyzf=x^2-y^2+z-10;g=x+y-5*z;h=2*x-4*y+z;[x,y,z]=solve(f,g,h)x=-19/80+19/240*2409^(1/2)-19/80-19/240*2409^(1/2)y=-11/80+11/240*2409^(1/2)-11/80-11/240*2409^(1/2)z=-3/40+1/40*2409^(1/2)-3/40-1/40*2409^(1/2)44[x,y,z]=solve('x^2-y^2+z-10','x+y-5*z','2*x-4*y+z')symsxyzf=x^2-y^2+z-10;g=x+y-5*z;h=2*x-4*y+z;[x,y,z]=solve(f,g,h)454.4.2符号微分方程求解求由eq1,eq2…指定的常微分方程的常数解，参数cond1,cond2…为指定常微分方程的边界条件或初始条件，自变量v如果不指定，将为默认自变量。46或或或y的一阶导数——Dyy的二阶导数——D2yy的n阶导数——

Dny47例exp4_23.m

:dsolve('Dy=a*y')dsolve('Dy=a*y','y(0)=b')ans=C1*exp(a*t)ans=b*exp(a*t)48例:求该方程的解ans=exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)y=dsolve('D2y+2*Dy+2*y=0','y(0)=1','Dy(0)=0')49X=-C1*cos(t)+C2*sin(t)Y=C1*sin(t)+C2*cos(t)[X,Y]=dsolve('Dx=y,Dy=-x')[X,Y]=dsolve('Dx=y','Dy=-x')50例4-13求解两点边值问题：（1）求解边值问题y=dsolve('x*D2y-3*Dy=x^2','y(1)=0,y(5)=0','x')y=31/468*x^4-1/3*x^3+125/46851（2）观察“解”的图形ezplot(y,[-1,6])holdonplot([1,5],[0,0],'.r','MarkerSize',20)text(1,1,'y(1)=0')text(4,1,'y(5)=0')title(['x*D2y-3*Dy=x^2',',y(1)=0,y(5)=0'])holdoff52534.5

符号数学的简易绘图函数54

4.5.1二维绘图函数

ezplot(f):绘制f(x)的二维图形，坐标范围默认[-2*pi,2*pi]ezplot(f，xmin,xmax):绘制f(x)的二维图形，坐标范围[xmin,xmax].ezpolar(f):极坐标下的二维绘图函数，调用格式与ezplot相同。55例exp4_25_1.m

:绘制函数表达式sinx,x^2,x^2-y^4的二维图形symsxyezplot(sin(x))figureezplot(x^2),gridfigureezplot(x^2-y^4)subplot(1,3,1),ezplot(sin(x)),gridsubplot(1,3,2),ezplot(x^2)subplot(1,3,3),ezplot(x^2-y^4)注意:grid为绘制网格命令56比较ezplot,plotsymsxezplot(sin(x))x=-2*pi:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)plot(x,y,'y+--')57例exp4_27.m

:在极坐标下绘制函数表达式1+cos(t)的二维图形symstezpolar(1+cos(t))58

4.5.2三维绘图函数

ezplot3(x,y,z)

绘制x=x(t),y=y(t),z=z(t)定义的三维曲线，自变量t的范围默认ezplot3(x,y,z,[tmin,tmax])

绘制x=x(t),y=y(t),z=z(t)定义的三维曲线.ezplot3(x,y,z,[tmin,tmax],’animate’)

绘制三维动态轨迹图。59例exp4_28.m

:根据x=sin(t)、y=cos(t)和z=t，绘制三维曲线symst;ezplot3(sin(t),cos(t),t,[0,6*pi])ezplot3(sin(t),cos(t),t,[0,6*pi],'animate')60614.5.3等高线绘图函数ezcontour(f)

绘制由表达式x,y定义的等高线，自变量变化范围默认。ezcontour(f，domain)

绘制由表达式x,y定义的等高线，自变量变化范围由domain确定，domain可以是4x1的矢量,[xmin,xmax,ymin,ymax]，也可以是2x1的矢量[min,max]，此时x,y的自变量的变化范围一样。62ezcontour(…，n)

绘制等高线时按nxn的网格密度绘图，n缺省值为60填充等高线的简易绘图函数为ezcontourf,其调用格式与ezcontour相同。例4-29例4-30634.5.4网格图绘图函数ezmesh(f)

绘制由表达式f(x,y)定义的网格图。ezmesh(f,domain).ezmesh(x,y,z)

绘制由表达式x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)定义的参数表面网格图,它们的范围默认都为[-2*pi,2*pi]64ezmesh(x,y,t,[smin,smax,tmin,tmax])

绘制由表达式x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)定义的参数表面网格图ezmesh(…，n)

绘制网格图时按nxn网格密度绘图。ezmesh(…,’circ’)以圆盘为自变量域绘制网格图ezmeshc

带等高线网格图的简易绘图函数，调用格式与ezsurf相同。65symsxyezmesh(x*exp(-x^2-y^2),[-2.5,2.5],40)colormap([0.511])例exp4_31.m

:66ezmesh(x*exp(-x^2-y^2),[-2.5,2.5],40,'circ')例exp4_32.m

:674.5.5表面绘图函数ezsurf(f)

绘制由表达式f(x,y)定义的表面图。ezsurf(f,domain)ezsurf(x,y,t)

绘制由表达式x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)定义的参数表面图ezsurf(x,y,t,[smin,smax,tmin,tmax])

绘制由表达式x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)定义的参数表面图68ezsurf(…，n)

绘制表面图时按nxn网格密度绘图。ezsurf(…,’circ’)以圆盘为自变量域绘制表面图ezsurfc带等高线表面图的简易绘图函数，调用格式与ezsurf相同。69symstsx=cos(s)*cos(t);y=cos(s)*sin(t);z=sin(s);ezsurf(x,y,z,[0,pi/2,0,3*pi/2])view(17,40)例exp4_34.m

:70714.6图形化符号函数计算器72图形窗口1--函数f的显示窗口图形窗口2--函数g的显示窗口函数功能的控制窗口funtool图形化符号函数计算器。73输入框：输入参数或控制函数计算器：可进行一系列的函数运算，如函数的微积分，函数的和等744.7Taylor级数计算器

75使用taylortool级数计算器可以非常直观地观察taylor级数展开与原函数的接近程度，以便选择合适的taylor级数taylortool启动图形化的taylor级数计算器7677sin(x)sin(2x)例:78★

作业

P264.24.6

4.879符号矩阵运算数值运算中，所有矩阵运算操作指令都比较直观、简单。例如：a=b+c;a=a*b；A=2*a^2+3*a-5等。