小学奥数 数论 质数合数分解质因数 分解质因数(二).题库版

a1a15-3-4.质数

教学目能够利用短除法分解整数唯一分解定理让生自己步领悟任何一个数字都可以表示eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)的构而且表达形式唯”知识点一、质因数与分解质因数质数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因.互数公约数只有的两个自然数，叫做互质数.分质数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因例如.其中23、5叫做30质因.又2，、3都做的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到个标准分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特.（4.分解质数方：除12例如：26是短除法的符号）所；二、唯一分解定理任何一个大于1的然数都可以写成质数连乘积，即：npa为自然数，并且这种表示是唯一的该式称为质因子分解式.2

a

其中为质数，例如：三个连续自然数的乘积是，求这三个数分析：，∴可知这三个数是、6和三、部分特殊数的分解1111141271；5-3-4.分解质因数题库

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pageof11223；.例题精模块一、分数的拆分【】算“

111＋＋＝中，同汉字示同自数则希＋望杯＝。希望杯【考点】分数的拆分【难度】1

星【型】填空【关键词】2007

年，希望杯，第五届，五年级，初赛，第

题，6

分【解析三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之.希望杯【答案11【】3个质的数和

，这3个质数和多．【考点】分数的拆分【难度】3【题型】解答11【解析设这个质数从小到大ac，它们的倒数分别为、、，算它们的和时需通分，且通c分后的分母为得到的分数为

F

如果这个分数能够约分得到的分数的分母为、、或们间的积现在和为

，分，以一定是a，b，c，检验满足所以这个质数的和为2331．【答案】【】一分，母，子一质．在下面种法⑴分和母加个同一数⑵分和分各一相的位．其一方组一新分，分约后是．么来数分是少【考点】分数的拆分【难度】3【题型】解答【解析因为新分数约分后分母，原母为，由于，以分母是加上9或者减去．是前者则原来分数分子为481但37，是质数；若是后者则原来分数分子是，487是质数．所以原来分数分子487．【答案】487【】将1到9这个字算

的每个号各入一数，得式立，且求填一括内字为数【考点】分数的拆分【难度】4【题型】填空【解析本题括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是

，，，将原始代入字母析有5-3-4.分解质因数题库

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pageof(y)(y)cbadca2。535

，即有cbad，么很容易发现只有

。符合原式的填法为2【答案】5351【】求足件的、值(a、都是位．【考点】分数的拆分【难度】4【题型】解答【解析取的两个不同约数、(y)，得到：xyyxy)xy)1001

(

因为xy都的约数，所以、都整数．所以只需令ax

1001+，bx

（+）就可以了．而a、y都要大于1001要证是四位数所a比值都要小于即y的值小于而的两个互质且比值小于的数有以下几组7,117,1311,91所我们依次取x、为面所列的数对中的数，代入a、的达式，得到本题的答案：

1144,1638,1540,1848,1122,1170【答案】

1144,1638,1540,1848,1122,1170【固若

，其a、都四数且a<b，么足述件所数（,b）是b【考点】分数的拆分【难度】4【题型】填空【解析2004的数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有12120042)2)111200413120042004(250101420042004(3121【答案】20042)2)111200413120042004(250101420042004(3【】在面括里上同自数使式立5-3-4.分解质因数题库

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pageof

111111112020

；【考点】分数的拆分【难度】4【题型】填空【解析单位分数的拆分，主要方法是从分母的数中任意找出两个数m和n，有：1n11，N(m)N()(m)A从分母的数中任意找出两m和n(m)，有：1mn(m)(m)N()B⑴

本10的约数有1，，2，5例如：选1和，有：

121；10102)2)2)3015从上面变化的过程可以看出果取出的两组不同的m和们的数值虽然不同是果m和n比值相同，那么最后得到的A也相同的．本题中，从10的约数中任取两个数，共C

24

种，但是其中比值不同的只有5组(11)，2)(1，5)；(1，，5)所以本题共可拆分成5组具体的解如下：11111112020116135⑵的数有、2、10我们可选和：152110102)2)2)615另外的解让学生去尝试练习．

0【答案）

11111201214153011（）【】如

1，，均正数则B最大多？A【考点】分数的拆分【难度】4【题型】填空【关键词】2008年，101中，分班考试1【解析从面例题我们知道，要将按如下规则写成的式：N1mn，其中和n是的约数。(m)(m)N()B如果要让尽能地大，实际上就是让上面的式子中n尽可能地小而尽能地大因此应当取最大的约数而取最小的约数，因m，n，以2009.【答案】B2008【固

111【考点】分数的拆分【难度】4【题型】填空5-3-4.分解质因数题库

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pageof【解析

11111111【答案】

11111111721201840545

【】在面括里上同自数使式立1【考点】分数的拆分【难度】4【题型】填空【解析先选的三个约数，比如、2和，表示成连减和加式5．则：

1120804016

11111如果选、、，那么有：．31734另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了个位分数的和差了．比如，要得到

1

，根据前面的拆分随意选取一组，比如，选择60其中的一个分数进行拆分，比如

11，以．1561360156【答案】

11561【】已等其中ab是非零然，a+b的大。ab【考点】分数的拆分【度5【型】填空【关键词】2005年第10届，杯，赛第13题【解析易知，

1mm15m)15()15()

，令mn）互质的一对数，现在要让分母，只需，n是15的对互质约数即可。当m，n)=（，），当m，n)=（，），当m，n)=（，），

302018

，此时，a+b=60；，此时，a+b=80；，此时，a+b=108；当m，n)=（，）时，

124016

，此时，a+b=256当m，n)=（，），

124

，此时，a+b=64；以a+b的大值为256。【答案】256模块四、分解质因数的综合应用【】都是整，于且2009,那么A最值，最值为。【考点】【度【型】填空【关键词】2009，7届，美杯3年，赛5-3-4.分解质因数题库

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pageof【解析】2009最大值为20092008最小值为49【答案】最大为，小【】写出有字和11数乘为20的四位数．【考点】【度【型】填空【关键词】2007，5届，美杯3年，赛【析本题属于数字拆分，目的就是拆成四个数和拆成个字的乘积，需要确定的是个位数字为偶数。根据拆分的特点应该2开始拆分。先将20分解质因数为所以各个数位数字乘积为的数字有：、、、14、、11数字和分别为10，符合条件的是、5、1这个数字组成的四位偶数，所以答案、1514、3个案。【答案】、1514、【】在做道位数以位的法时马把乘数的字5看由得积么来乘是少?【考点】分解质因数的综合应用【难度【型】解答【解析口口口，其中某个口为，一一验证只有1872=48×39满足．当为1872=48×39时小马虎错把看，也就是错把45看48所以正确的乘积应该是45×39=1755当为时小马虎错把5看8，也就是错把成，所以正确的乘积应该是75×24=1800．以原来的积为1755或．【答案】或1800【】两个生写一个法式两乘都两数他各错一数，于得两不同算，巧的，们算结都如果确乘不被6整，么等多少【考点】分解质因数的综合应用【难度【型】解答【解析注意936中质因数，故易见将其分解成两个两位相乘的形式1，26，52，这种可能，由两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数字相同经枚举可知所抄错的算式可能是(1313)24)或52对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字第二个乘数的十位数字，正确的算式应是1或872，者乘积是6的数，与题意不符，故原算式应为前者，正确的乘法算式.后三种情况作类似分析，可得出可能的原乘法算式，但它们的结果都是6的倍数，不合题因此676即为所求5-3-4.分解质因数题库

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pageof【答案】676【】在射运中，射箭到环或是0)，者不过10的然．甲乙名动各了5箭，人5箭得的数积是1764，是的环比少4．甲乙总数是少【考点】分解质因数的综合应用【难度【型】解答【解析应对应为5个于的然数乘积．通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为个因数，从而这个因数一定都是大于1的于是得到了下几种分解情况1764=4×3×3×7×7但发其中任何两组的和的差均不是原是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有存在而考虑含有因数1另外2种况1784=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7以总的情况对应的和依次为

4+3+3+7+7=24，1+6+6+7+7=27，+4+9+7+7=28．对应的和中只有，28相4所以甲的5箭数为4、、、7、，乙的5环数为14、9、、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28【答案】甲的总环数为，乙的总环数为28【】某校生贫困区款1995元这学共名师，个教班各学人相且多人超人如果均人款钱是数那平每捐多元【考点】分解质因数的综合应用【难度【型】解答【解析这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名生，并且师生总人数能整除1995，～665之的约数只有，以师生总数人，则平均每人捐款元【答案】3【】张老带同学去树学的数好分三已老和生种棵，师学生人的一多并不过10棵问一有多学？人了棵？【考点】分解质因数的综合应用【难度【型】解答【解析因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个种的棵数又不超过所通过枚举法来(注意人数是减去1后的数：312311不的倍数156，156155不的倍数104，104不是3的倍数不是3的数65251倍数，是3的倍数；共有51个学生，每个人种了6棵树【答案】共有个学生，每个人种了6棵【固某同在主老带下种，生好平分三，果师学每种一多5-3-4.分解质因数题库

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pageof222222共了1073棵那平每人了树【考点】分解质因数的综合应用【难度【型】解答【解析因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积以先想到的是把数乘一个数为人数一个数为每人种的棵数1073注到人数是减去1是倍所人数是均每人种了29棵【答案】29【】幼儿里小朋分果420个果好分但天好新园位朋友这每小友要分个果原有个朋。【考点】分解质因数的综合应用【难度【题型】填空【关键词】2004年，第届，走美杯，6年，赛，第，分【解析】420

8470上式中只有