小波变换和图像压缩

MMTYANGZHOUDAXUE物理科学与技术学院第八讲、小波变换和图像压缩第1节小波变换简介设有信号f(t):其傅里叶变换为F(jΩ):即：=++Ψ（t）1/2Ψ（2t-t0）2/3Ψ（4t-t1）像Ψ(t)这样，有限长且均值为0的函数称为小波函数。常用的小波函数如下图：由一个母小波函数，通过平移和缩放，可得到一系列函数，组成一个小波函数系。其中a为缩放参数，b为平移参数。将函数用一个小波函数系的线性组合表示就是小波反变换。为Ψ(x)的傅里叶变换。为小波系数。求得小波系数的算式就是小波正变换。该式也可以理解为f(x)和Ψa,b(x)内积，小波系数表示二者的相似程度，或f(x)中含有Ψa,b(x)成分的多少。小波系数有a和b两个自变量，分别代表不同的尺度（时间）和频率，所以小波分析属于时频分析。第2节离散小波变换（HAAR小波）（1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8）（1/8,1/8,1/8,1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8）（1/4,1/4,-1/4,-1/4,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/4,1/4,-1/4,-1/4）（1/2,-1/2,0,0,0,0,0,0）（0,0,1/2,-1/2,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/2,-1/2,0,0）（0,0,0,0,0,0,1/2,-1/2）连续Haar小波对应的离散Haar小波离散小波变换就是做向量的内积。例：对（64，2，3，61，60，6，7，57）做Haar小波变换：Haar小波变换第二种做法：Haar小波反变换：Haar小波反变换第二种做法：第3节图像小波变换图像是二维数据，所以要分别对行和列做小波变换。行列的顺序不影响变换结果。JPEG2000标准中建议的不是Haar小波，而是5/3小波或9/7小波。对图像的小波变换可能有损也可能无损。图像小波变换除了应用在图像压缩上，还广泛用于图像分析。第4节EZW编码（1992）将图像的小波系数用树结构表示。例：8×8小波系数扫描次序EZW编码的术语P：正重要节点，本节点绝对值大于阈值，且为正数。N：负重要节点，本节点绝对值大于阈值，且为负数。Z：孤立零，本节点绝对值小于阈值，但其子节点中有重要节点。T：零树根，本节点及其所有子节点绝对值都小于阈值。扫描：按次序扫描各小波系数，判断其为何种节点。第一次扫描编码结果：PNZTPTTTTZTTTTTTTPTT1010EZW编码举例：第一次扫描:初始阈值设为32。得到重要节点，对零树根的子节点不做扫描。对重要节点编码。

第二次扫描编码结果：NPTTTTTTTTTTTTTTT100110第二次扫描:阈值设为16。第二遍扫描对第一遍的重要节点不扫描。对第一第二遍扫描的重要节点编码。第三次扫描编码结果：PPNPPNTTNNPTPTTNTTTTTTTTPTTTPTTTTTTTTPTTTTTTTTTTTT10011101111011011000第三遍扫描:阈值设为8。第三遍扫描对之前扫描的重要节点不扫描。对所有的重要节点编码。EZW解码：PNZTPTTTTZTTTTTTTPTT1010NPTTTTTTTTTTTTTTT100110PPNPPNTTNNPTPTTNTTTTTTTTPTTTPTTTTTTTTPTTTTTTTTTTTT10011101111011011000原始小波系数和原始数据解码误差分析：小波反变换：第一次解码误差：小波反变换：根据第一次扫描结果解码第二次解码误差：根据第二次扫描结果解码小波反变换：第三次解码误差：根据第三次扫描结果解码小波反变换：JPEG2000是一个新的图像标准，目的是利用当前的压缩技术，提供一种新的图像编码体系。第5节JPEG2000其中，小波变换采用5/3或9/7小波，编码采用EBCOT(1999)编码。JPEG2000的文件采用扩展名".j2k"。JPEG2000有两种编码模式：基于DCT的编码模式：基于JPEG。基于小波变换的编码模式：包括无损和有损变换。JPEG2000有下述优点：(1)JPEG2000作为JPEG升级版，其压缩率比JPEG高30%左右。(2)JPEG2000同时支持有损和无损压缩。无损压缩对保存一些重要图片十分有用。(3)JPEG2000能实现渐进传输。先传输图像的轮廓，然后逐步传输数据，不断提高图像质量，让图像由朦胧到清晰显示，而不必是像现在的JPEG一样，由上到下慢慢显示。(4)JPEG2000支持“感兴趣区域（ROI，regionofinterest）”特性，可以任意指定影像上感兴趣区域的压缩质量，还可以选择指定的部份先解压缩。可以很方便的突出重点。

渐进传输实例：ROI实例：小结小波变换属于时频分析数学工具，不同于单纯的时域分析和频域分析。图象的小波变换属于二维离散