H第7章 点的复合运动

第七章点的合成运动简单运动：点或刚体相对一个定参考系的运动。合成运动：物体相对于不同参考系的运动是不同的， 但各运动之间存在着必然的联系。在一定条件下 ，一种运动可以看作其它几种运动的合成，该运 动称为合成运动。§7-1相对运动、牵连运动和绝对运动Oxyz——定参考系

绝对运动：动点相对定系的运动

相对运动：动点相对动系的运动

牵连运动：动系相对定系的运动三种运动作为研究对象的运动点称为动点一、动点、动系和各种运动O’x’y’z’——动参考系xyMAxyMM’A’vavevrvavrve取M

为动点；动系建在作平动的车厢上牵连：车厢的平动绝对：M点沿旋轮线的运动相对：M点绕车轴的圆周运动取M

为动点动系建在作平动的天车上牵连：天车的平动绝对：M点斜向上的运动相对：M点向着天车的直线运动动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度，分别称为相对轨迹、相对速度（vr）、相对加速度（ar）。动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，分别称为绝对轨迹、绝对速度（va）、绝对加速度（aa）。二、相对和绝对速度、加速度三、牵连点·牵连速度、加速度牵连运动是指动系的运动，而并非某一点的运动。所以除非动系作平动，否则其上各点的运动都不完全相同。如果想当然地讲：牵连运动的速度和加速度就是牵连速度和牵连加速度，则在概念上是错误的。曲柄摇杆曲柄滑槽偏心轮推杆同样的牵连运动——转盘的转动，同样的相对运动——静止。但他们所具有的速度并不相同。因为他们每个人在转盘上所站的位置并不相同。1、牵连点某瞬时，在动参考系上与动点相重合的那一点。称为牵连点，又称瞬时重合点。正确理解牵连点概念需把握的要点：（1）牵连点是动参考系上的点；（2）牵连点具有瞬时性，动点在不同的瞬时有不同的牵连点。2、牵连速度和牵连加速度牵连点的速度和加速度称为牵连速度（ve）和牵连加速度（ae）。前一瞬时的牵连点下一瞬时的牵连点现在瞬时的牵连点注：牵连速度、加速度是牵连点的绝对速度和绝对加速度。§7-2点的速度合成定理动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。动点的绝对速度可以由牵连速度与相对速度所构成的平行四边形的对角线来确定，这个平行四边形称为速度平行四边形。MAvavrveMvavevr定理的证明：定系：Ｏxyz，动系：，动点：Ｍ为牵连点导数上加“～”表示相对导数。得

点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。B例：车A和车B分别沿着夹角为的两条直线公路行驶，已知车A的速度是v1

，车B在车A的右岔路，如果A

、B两车连线始终与速度v1垂直。试求车B的速度和它相对于车A的速度。xyvave=v1vrAv1解：（1）取车B为动点，将动系固结在车A上。x’y’（2）分析运动绝对运动：车B沿岔路的直线运动相对运动：车B相对车A的直线运动牵连运动：动系随车A的直线平动（3）分析速度绝对速度va：沿岔路，大小未知相对速度vr：向右，大小未知牵连速度：ve=v1（4）根据速度合成定理求解根据速度合成定理：作速度的平行四边形，由几何关系可知：Bvave=v1vr解题步骤：（1）选取动点和动系（2）分析各种运动和速度（大小和方向是否已知}（3）根据速度合成定理画速度平行四边形，求解Mv1ABv2例：矿砂从传送带A落到另一传送带B上，站在地面上观察矿砂运动的速度为v1=4m/s，方向与铅直线成300的夹角。已知传送带B水平传动速度v2=3m/s

。求矿砂相对于传送带B的速度。vrva=v1ve

=v2600M解：以矿砂为动点，动系固定在传送带上运动分析（略）速度分析：vavevr大小v1v2×方向OKOK×vrva=v1ve

=v2600M根据速度合成定理：作速度的平行四边形，利用余弦定理可得：利用正弦定理可得vr与va间的夹角为：BO1O2CDAvAvevavr例：铰接四边形机构，已知O1A=O2B=10cm，O1O2=AB，且O1O2处于水平。杆O1A以匀角速度 绕轴O1转动。杆AB上有一套筒，该套筒与CD杆的C端铰接，机构各部位都在同一铅垂面内。求当时，导杆CD的速度。解：取套筒C为动点，将动系取在杆AB上运动分析（略）速度分析：vavevr大小×vA×方向OKOKOK根据速度合成定理：作速度的平行四边形，BO1O2CDABO1O2CDAvAvevavrvAvevavr由几何关系可知：所以杆CD的速度为vCD=0.1m/s解法（二）：取杆AB上的C点为动点，将动系取在杆CD上(或套筒C上）运动分析（略）速度分析：vavevr大小vA××方向OKOKOK所以杆CD的速度为vCD=0.1m/sOO1AB例：刨床的急回机构，曲柄的一端A与滑块用铰链连接，当曲柄OA以匀角速度绕固定轴O转动时，滑块A在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1=l。求当曲柄在水平位置时，摇杆的角速度。OO1ABvavrve解：取滑块A为动点，以杆O1B为动系(即将动系取在杆O1B上)速度分析：vavevr大小vA××方向OKOKOK根据速度合成定理：作速度的平行四边形，讨论：能否取杆O1B上的A点为动点、杆OA为动系？急回机构OO1ABA’B’前进行程后退行程选取动点、动系的目的和原则：目的：所选的动系应能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。原则：动点和动系不能选在同一物体上；一般应使相对运动易于想象，其轨迹为明确的直线或曲线。常见错误及原因OABCDEvvavevr错误原因：混淆了在各种速度表示中，不同下标的确切含义。ABCDM错误原因：牵连速度的概念不清。牵连点是动系（杆ACD）上的M点，该绕A转动，而不是绕C转动。vrveva动点、动系的选取一、机构中存在滑块、销钉、小环等滑动构件的情况ACDOvACDOvvrveva 一般选滑块、销钉、小环为动点，动系固连于与之发生相对滑动的构件上。vrvavevBAOCDvavevrOO1BAvavrveOABCDEvvevavrBOO1AvavevrOAO1BvevavrABCDMvrvevaOABDCEvvrvaveOABCvDAOBCvvavrvevavevr二、机构中两相对滑动构件直接接触的情况 以其中一构件上的接触点为动点，动系固连于另一构件。此时，必须注意使动点的相对运动明确。三、机构中两相对滑动构件始终保持相切的情况 以其中的盘状构件的圆心为动点，动系固连于另一构件。此时，须明确牵连点的概念。OCABDEvAOO1CBvevrvavavevr四、摇块机构中动点、动系的选取 以主、从动构件的铰接点为动点，动系固连于摇块。此时，须注意牵连点的位置。OABCvavevrOABCvavevr曲柄摇块机构曲柄导杆机构摇块机构可看作是由导杆机构演化而成的O1OABCvavevrOO1ABCvavevrOACBDvvavevrOAO1CBvavevr组合机构的运动学问题求解将两个或几个基本机构联接而成的机构，称为组合机构。vBCO2vvO1ABCvavevrvevavr例：图示平面机构，已知曲柄O1A以匀角速度转动，求图示瞬时摇杆O2C的转动角速度O1ABCO2vavevrvevavr解：（1）取滑块A为动点，将动系取在槽杆BC上速度分析：vAavAevAr大小OK××方向OKOKOK根据速度合成定理：作速度的平行四边形，vO1ABCO2vCevCavCrvAevAavAr可解得vAe于是：v=vAe（2）取滑块C为动点，将动系取在摇杆O2C上速度分析：vCavCevCr大小v××方向OKOKOK根据速度合成定理：作速度的平行四边形，可解得vCe于是：AOO1DABOO1CDvDBO1CvvAavAevArvBavBevBrvAavAevArvBavBevBr例：图示平面机构，已知曲柄OA以匀角速度转动，求图示瞬时杆BC的速度具有两个输入的运动学问题求解OAMBCMvOABCMvv1ev1rv2ev2rv1ev1rv2ev2r自由度例自由度的概念自由度：确定系统位置所需要的独立（最少）参数的个数。OABCMvO1ABCO2组成复杂的机构，其自由度不一定多。OAM600bOAM600bOM600bv1ev1rv2ev2r例：圆盘和杆的角速度分别为=9rad/s

，=3rad/s

，b=0.1m；销子M可在它们的导槽中滑动；求图示瞬时销子M的速度v1ev1rv2ev2r解：取销子为动点，分别以圆盘和杆为动系根据速度合成定理：可得方程：xy将此方程向x轴投影，可得由此解出：v2r

，所以销子的速度为v1ev1rv2ev2r§7-3牵连运动是平动时点的加速度合成定理在点的合成运动中，加速度的合成关系与动系的运动情况有关。 当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。vavevr证明：所以对求导，得其中：所以AOaaear例：小车沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度为a=2.0m/s2

。在小车上有一半径为

r=0.5m的轮绕轴O匀速转动，角速度为 。图示瞬时，轮缘上的一点A恰好在轮心O的上方，求此时点A的加速度。aa解：取点A为动点，以小车为动系。作加速度分析：根据动系平动时点的加速度合成定理aaaear大小×aan方向×OKOK作出加速度合成图，由几何关系得aa

与水平方向夹角为450

。例：凸轮在水平面上向右作减速运动。设凸轮半径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为v和a。求杆AB在图示位置时的加速度。ABCCABCABCCvaRvavrve解：以AB杆上的A点为动点，以平动的凸轮C作动系。（1）先作速度分析根据速度合成定理：作速度平行四边形解得：（2）作加速度分析根据动系平动时点的加速度合成定理：ABCC所以其中n上面方程投影在法向n，得解得：例：已知滑块在图示瞬时的速度和加速度，求此瞬时杆上A点的速度和加速度解：动点：杆上A点动系：滑块运动分析绝对运动：直线运动相对运动：圆周运动牵连运动：直线平移求：绝对速度绝对加速度ABr分析：速度分析：AB加速度分析：BA例：已知图示瞬时圆盘的角速度

和角加速度

，求杆上A点的速度和加速度解：动点：盘心C

动系：杆运动分析绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：直线平移求：牵连速度牵连加速度OAc分析：OAcOAc速度分析：加速度分析：解：动点：杆上B点动系：半圆滑道运动分析绝对运动：圆周运动相对运动：圆周运动牵连运动：曲线平移求：B点的绝对速度绝对加速度例：已知铅垂摇杆在图示瞬时的角速度为

，角加速度为

，求此瞬时AB杆的角速度和角加速度AB分析：AB加速度分析：AB速度分析：例：车A和车B分别沿各自的道路匀速行驶，求图示瞬时,1)

坐在车A上的人观察到车B的速度和加速度2）坐在车B上的人观察到车A的速度和加速度。ABo解：1）

动点：车B

动系：车A运动分析绝对运动：圆周运动相对运动：曲线运动牵连运动：直线平移求：相对速度和加速度求相对速度ABo求相对加速度解：2）动点：车A，

动系：车B运动分析绝对运动：直线运动相对运动：曲线运动牵连运动：定轴转动求：相对速度和加速度ABoABo§7-4动系为定轴转动时点的加速度合成定理v1av1ev1rM1v2av2rv2eM2其中由动系的转动与相对运动共同产生牵连运动是转动时点的加速度合成定理科氏加速度 当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。vrac900P是定轴转动刚体上的任意一点证明：因为得令称为科氏加速度例：已知滑块以匀速u平动，求图示位置时，杆的角速度和角加速度解：动点：板上与杆的接触点B点动系：OA杆运动分析绝对运动：直线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动求：牵连速度和牵连加速度OBOB速度分析：加速度分析：aa=0其中其中由几何关系可得：于是：同时可得：即将上面方程投影与轴：于是：AOBCvvavrve例：在凸轮顶杆机构中，凸轮半径为r，偏心距为e，以等角速度绕轴O转动，求当OC⊥OA瞬时，顶杆AB的速度与加速度。解：取