《画法几何及土木工程制图》(第3版)2.2 直线的投影

2.2直线的投影ABabαβγb″a′b′ZXYa″VHW

直线的投影

直线上的点

直线的真长及其倾角

两直线间的相对位置一边平行于投影面的直角投影规律画法几何及土建制图HABbaCDcdEFe(f)

直线的投影特性：

一般来说，直线的投影仍然为直线。当直线垂直于投影面时，直线的投影则积聚为一点。直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：一般位置直线投影面平行线投影面垂直线——直线与三个投影面均倾斜。——直线平行于其中的一个投影面，倾斜于另外两个投影面。——直线垂直于某一投影面。1、直线的投影a′b′b″a″baYHYWXZABabαβγa″b″a′b′ZXY

一般线的投影特性：

一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，也不反映直线与投影面的倾角。一般位置线直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：水平线直线平行于H面，倾斜于V、W面。正平线直线平行于V面，倾斜于H、W面。侧平线直线平行于W面，倾斜于H、V面。投影面平行线投影面平行线

水平线的投影特性：1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为β；与OY轴的夹角为γ；α=0°。2.水平线的V投影a’b’∥OX；W投影a”b”∥OY；a’b’b”a’baβγ

反映真长TLYHYWXZaa”a’b’Bb”AβγbZXY水平线

正平线的投影特性：1、正平线的V投影反映真长，真长投影与OX夹角为α；与OZ轴的夹角为γ;β=0°。2、正平线的H投影ab∥OX；W投影a″b″∥OZ；a′b′b″a″baγα反映真长TLYHYWXZa′b′AabαBa″b″γZXY正平线a′b′b″a″baα反映真长TLβYHYWXZa′b′AabαBa″b″βZXY

侧平线的投影特性：1.侧平线的W投影反映真长，真长投影与OY夹角为α；与OZ轴的夹角为β；γ=0°。2.侧平线的V投影a′b′∥OZ；H投影ab∥OY；侧平线按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为：铅垂线直线垂直于H面，平行于V、W面。正垂线直线垂直于V面，平行于H、W面。侧垂线直线垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直线投影面垂直线a′b′b″a″b(a)YHYWXZa′b′A(a)bBa″b″ZXY铅垂线投影特性：1、铅垂线的H投影积聚为一点；2、铅垂线的V、W投影反映直线的真长，且平行于OZ轴。铅垂线b″a″a(b′)ba′YHYWXZa′(b′)Bb″Aaba″ZXY正垂线投影特性：1、正垂线的V投影积聚为一点；2、正垂线的H、W投影反映直线的真长，且平行于OY轴。正垂线a′b′（b″）a″baYHYWXZa′b′AabBa″(b″)ZXY侧垂线投影特性：1、侧垂线的W投影积聚为一点；2、侧垂线的V、H投影反映直线的真长，且平行于OX轴。侧垂线ABCa(b)EFDedf直线上点的投影特性:1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：

ED:DF=ed:df=e′d′:d′f′=e″d″:d″f″(c)2、直线上的点a′b′abk′kk″a″b″XZYHYWOK点在直线AB上【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？XYHYWZa′b′abk′ka″b″k″K点不在直线AB上O【例题2】判断点K是否在直线AB上。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV【例题3】已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。aba′b′C

′cXO【例题4】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。直角三角形法AB真长αAB真长βaba′b′ABabαβγb″a′b′ZXYa″△ZAB量取△ZAB△YAB量取△YAB3、一般线的实长与倾角

求解一般位置线段的实长及其与投影面的夹角，是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一。也是工程中经常遇到的问题。而用直解三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。

一、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对应于投影面的坐标差作为另一直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影响面的夹角。二、直角三角形的四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。三、解题时：直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。四、作图

1．求直线的实长及对水平投影面的夹角角

2．求直线的实长及对正面投影面的夹角角

3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角角

例题1一般位置线段的实长及其与投影面夹角的求解在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长（TL)坐标差△Z、△Y、△XH、V、W投影长α、β、γ

直角三角形法|zA-zB

|AB1．求直线的实长及对水平投影面的夹角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab2．求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB||yA-yB|AB|yA-yB|3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbbabaa|xA-xB||xA-xB|a|zA-zB|abABab|zA-zB|【例题5】已知线段实长AB，且A点在B点前方，求它的水平投影。【例题6】试在直线AB上其一点C，使AC=25mm，求点C的投影

aba′b′XOΔZAB=ΔZABC在AB上量取AC=25mmcc′BA【例题7】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影量取△YABR=40mm△YABa′b′ab【例题8】已知直线AB的V投影，且β=30°，求AB的H投影。a′b′ab△YAB量取△YABβ【例题9】已知直线AB的V投影，且α=30°,求AB的

H投影。a′b′abαΔzAB直线的H投影长以直线的H投影长为半径，作圆弧直线AB真长两直线的相对位置两直线交叉两直线相交两直线平行

4、两直线的相对位置

两直线平行的投影特性：两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即AB∥CD，则：ab∥cd；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d″。xob´aa´d´bbcc´xob´a´abdc´d´cABCD两直线平行abcdcabd对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①【例题10】判断图中两条直线是否平行bdcacbaddbac对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。②求出侧面投影如何判断？【例题11】判断图中两条直线是否平行ob’xa’abk’c’d’dckxoBDACKbb’aa’c’cdd’k’k两直线相交的投影特性：两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。两直线相交●●cabbacdkkd先作正面投影【例题12】过C点作水平线CD与AB相交Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21

两直线交叉的投影特性：

既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉.两直线交叉dbaabcdc’1(2)3(4)投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●3

4●●两直线相交吗？交叉两直线的投影特性：交叉两直线重影点投影的可见性判断(3)41(2)43341212【例题13】判断两直线的相对位置（方法一）Xa′ac′d′dcbb′od″c″a″b″YWYHZ两直线交叉【例题14】判断两直线的相对位置(方法二）cboa′ac′d′db′x1′1=1′d′=1′c′两直线交叉【例题15】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。d′e′

f′fec′a′abcd(b′)(k′)l′lk作kˊlˊ∥eˊfˊ作kl∥ef【例题16】已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影，求作直线CD，使其与直线AB相交且与H面成30º夹角。Cˊaˊbˊcab△ZCDCD水平投影长CD真长α以CD水平投影长为半径作弧d有两解dˊAHBCacbcOXb′a′c′ba

直角投影规律：

空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。

5、一边平行于投影面的直角投影直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。两直线交叉垂直OXb′a′bamnnmBHACcbaMNnmZZ距离注意：距离直线只有平行于投举例求作点到直线的距离【例题17】求点K到直线AB的距离。kk′aba′b′ll′垂线KL的实长△ZKL△ZKL【例题18】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。e′f′efa′abb′cc′量取bc=30mm【例题19】求两直线AB、CD之间的距离。aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm两交叉线间距离(n)ffee

【例题20】过点E作线段AB、CD公垂线EF

两平行直线的距离投影面垂直线badca(b)c(d)ef距离efabcda(b)c(d)ef投影面平行线

eg'f'e'hgfh'ijk'l'lkj'i'距离实距两平行直线的距离（e）【例题21】求直线AB和CD间的最短距离。

空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。fef分析：ABCDEFabecdfH因为ABH,EFAB,所以EF//H；又因为EFCD,EF//H所以efcd。Xcd（b）baacdo因为EF//H,所以e'f'//OX；EFAB,EFCDABab|yA-yB|bc=BCbbcnmaaXmnc【例题22】作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且

BCAB=23。dbbXOaccadABCD有abbc分析：

空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。因为ABBC,且ABH根据直角投影定理【例题23】已知长方形ABCD中BC边的两投影和AB边的面

投影（a'b'//OX)，求作长方形的两投影。【例题24】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影。a′f′e′e″f″a″b″c″d″b′d′c′o″o′=△XAO△XAO半对角线长f

0【例题25】已知菱形ABCD的对角线AB的两投影，另一对角线CD

长为2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。e’ef’fZFEZFELc0cc’dd’ABC