湖南省益阳市太阳中学2022年度高二数学理联考试卷含解析

湖南省益阳市太阳中学2022年度高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最值范围为(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：B略2.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4D．8参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．解答：解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧棱长为：，所以几何体的表面积为：=4．故选C．点评：本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．3.设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（

）A．若与共面，则与共面B．若与是异面直线，则与是异面直线C．若，则D．若，则参考答案：C4.设双曲线的右顶点为A，右焦点为，弦PQ过F且垂直于轴，过点P、点Q分别作为直线AQ、AP的垂直，两垂线交于点B，若B到直线PQ的距离小于，则该双曲线离心率的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B由题意,B在x轴上,,∴，∴，直线BQ的方程为，令y=0,可得，∵B到直线PQ的距离小于2(a+c)，∴，∴，∴，∴，∵e>1，∴，故选B.

5.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为（）A．m B．2m C．4.5m D．9m参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2Py（P＞0），由题意知抛物线过点（2，﹣2），进而求得p，得到抛物线的标准方程．进而可知当y0=﹣3时x02的值，最后根据水面宽为2|x0|求得答案．【解答】解：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2Py（P＞0），由题意知，抛物线过点（2，﹣2），∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y．当y0=﹣3时，得x02=6．∴水面宽为2|x0|=2．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．6.已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的必要条件而不是充分条件；③是的充分条件而不是必要条件；④是的充分条件而不是必要条件；⑤的必要条件而不是充分条件，则正确命题序号是

.

参考答案：①③⑤

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩参考答案：D【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．8.如图，为正四面体，于点，点均在平面外，且在平面的同一侧，线段的中点为,则直线与平面所成角的正弦值为（

）A．

B．

C.

D.参考答案：A9.抛物线的准线方程是，则的值为()A.

B．

C．4

D．－4参考答案：B略10.若命题“”为假，且“”为假，则A.p或q为假 B.q真 C.q假 D.不能判断q的真假参考答案：C试题分析：命题“”为假，说明与中至少有一个是假命题，“”为假说明为真命题，所以为假命题.考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,,,则在上的正投影的数量为

参考答案：y=-x-212.（4分）已知点A（﹣2，4），B（4，2），直线l：ax﹣y+8﹣a=0，若直线l与直线AB平行，则a=_________．参考答案：13.已知点M是y=上一点，F为抛物线的焦点，A在C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．【解答】解：如上图所示利用抛物线的定义知：MP=MF当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x轴CM所在的直线方程为：x=1与y=建立方程组解得：M（1，）|CM|=4﹣点M到圆C的最小距离为：|CM|﹣|AC|=3抛物线的准线方程：y=﹣1则：，|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4故答案为：4【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．14.（5分）某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（结论写成小数的形式）_________．参考答案：0.64815.已知样本的平均数是10，标准差是，则xy=________.参考答案：96，，

16.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据△ABF2是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=30°．在Rt△AF2F1中，设|AF1|=m，可得，所以|AF2|=2m，用勾股定理算出|F1F2|=m，得到椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m，所以椭圆的离心率为e==．【解答】解：∵△ABF2是正三角形，∴∠AF2B=60°，∵直线AB与椭圆长轴垂直，∴F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=×60°=30°，Rt△AF2F1中，设|AF1|=m，sin30°=，∴|AF2|=2m，|F1F2|=因此，椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m∴椭圆的离心率为e==．故答案为：【点评】本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．17.若圆以抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切,则该圆的标准方程是__

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表商店名称

A

B

C

D

EE

销售额x(千万元)

3

5

6

7

99

利润额y(百万元)

2

3

3

4

5

(1)

画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性。(2)

用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．(3)

当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.参考答案：（1）略……………3分（五个点中，有错的，不能得3分，有两个或两个以上对的，至少得2分）两个变量符合正相关

……………4分

（2）设回归直线的方程是：，

……………6分∴

……………8分∴y对销售额x的回归直线方程为：

……………10分（3）当销售额为4(千万元)时，利润额为：＝2.4(百万元)

……………12分19.设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）设，证明当时，.参考答案：（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.所以当时，.故当时，，，即.（Ⅲ）由题设，设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.所以当时，.【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的证明与解法【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．20.为了解学生身高情况，某校以的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，则得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在170—185cm之间的概率；（3）从样本中身高在165—180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170—180cm之间的概率.参考答案：略21.（本小题满分12分）已知等差数列满足：，的前项和。（1）求通项公式及前项和公式；

（2）令，求数列的前项和。参考答案：解：（1）设等差数列的公差为，有

…4分

…5分

…6分（2）由（1）知：

…7分

…9分即数列的前项和…12分略22.已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，=（2，2），函数g（x）=x2﹣x﹣6．（1）求k，b的值；（2）当x满足f（x）＞g（x）时，求函数的最小值．参考答案：解：（1）∵函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，∴由已知得A（﹣，0），B（0，b），∴=（，b），∵=（2，2），∴，解得b=2，k=1．（2）∵函数g（x）=x2﹣x﹣6，x满足f（x）＞g（x），∴x+2＞x2﹣x﹣6．即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4，∴==x+2+﹣5，由于x+2＞0，则，其中等号当且仅当x+2=1，即x=﹣1时成立，∴的最小值是﹣3．考点：其他不等式的解法；直线的斜率．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由已知分别求出A，B两点坐标，进而求出，再由=（2，2），能求出k，b的值．（2）由已知得x+2＞x2﹣x﹣6，从而得到﹣2＜x＜4，再由==x+2+﹣5，利用均值定理能求出的最小