《复变函数论》胡玉泉版-第三章-复变函数的积分

第三章复变函数的积分§1复积分的概念§2柯西积分定理§3柯西积分公式§4解析函数的高阶导数§5解析函数与调和函数的关系设C为平面上给定的一条连续曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正向，那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线。如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,§3.1复积分的概念1复积分的定义xy0AB简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P沿此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:以后把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.xy0PC((xy0ABzn-1zkzk-1z1z0zkxy0ABzn-1zkzk-1z1z0zk关于积分定义的说明:(1)如果C是x轴上的区间a≤x≤b，则f(z)=u(x)

为实函数。该积分就是实函数定积分。2.积分的计算及积分性质可通过两个二元实变函数的线积分计算复积分的化简:例1

解直线方程为例2

解积分路径的参数方程为解例3

积分路径的参数方程为重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关.复变函数的积分性质.估值不等式而所以得证证明：例4解因此解例5

(1)积分路径的参数方程为xy01+i(2)积分路径的参数方程为xy01+i(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为xy01+i注意2注意1这和数学分析中的曲线积分与路径无关的关系？1.柯西积分定理:说明：该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；§3.2Cauchy积分定理它是复变函数理论的基础。复习数学分析中的Green定理:证明

Cauchy积分定理:由Green公式例1解根据Cauchy积分定理,有例2解=0根据Cauchy积分定理得当时,解：例3求解故z2+2z+4解析，由柯西积分定理定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，z0与z1

为D内任意两点，C1与C2为连结z0与z1的积分路线，C1与C2都含于D，则z0z1xy0C1C2即当f为D的解析函数时积分与路线无关，而仅由积分路线的起点z0与终点z1确定。定理：C1与C2是两条简单闭曲线，C2在C1的内部。f(z)在C1与C2围成的二连域D内解析，而在D+C1+C2上连续，则DC1C2在区域内解析的函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内做连续变形而改变。故称该定理为闭路变形原理。ABCDC1C2D1D2L1L2由柯西积分定理，得

L1=AB+BC+CD+DL1A

L2=AL2D+DC+CB+BA故L1+L2=BC+DL1A+AL2D+CB=C2-+C1

于是即2.复合闭路定理那末证明：设n=2,A1A2A3A4C1C2EFGIHJ当n为其它值时，可同样证明。故例1解依题意知,xy01根据复合闭路原理,xy01C1C2例2

解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据复合闭路原理,xy0C23.

原函数的概念原函数之间的关系:那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:证明：解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,即：证明：在D内任取一点z+Δz，则有定理zz+Δzz0因为f(z)在D内连续，所以对任意给定的由点z的任意性，得证。Newton-Leibniz公式说明：有了以上定理,复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算.证明：根据Cauchy积分定理,例1解例2解例3解例4解利用分部积分法可得1.问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C

的变化而改变,求这个值.§3.3Cauchy积分公式

2.Cauchy积分公式及其推论定理：证明：以点z0为中心，以充分小的r>0为半径作圆L，使L及其内部均含于D内，则z0rLC而且故即（得证）推论1(平均值公式)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值推论2

设f(z)在由简单闭曲线C1,C2所围成的二连域D内解析，并在C1,C2上连续，C2在C1内部，z0为D内一点，则DC1z0C2C3例1解由Cauchy积分公式例2解由Cauchy积分公式高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.§4解析函数的高阶导数证明：利用数学归纳法，当n=1时证明由导数的定义可知由柯西积分公式可知由条件可知，存在M>0,设则DCz0dDCz0d则而Δz→0,故从而依此类推，可以证明注意：解析函数的导数仍然是解析函数定理：柯西不等式证明：其中0<R1<R,由复积分的性质得故令R1→R得到刘维尔定理：设函数f(z)在全平面上解析且有界，则f(z)为一常数。证：则f(z)为一常数。例1证明：由柯西积分公式有其中0<r<1利用积分的性质有例2解根据复合闭路原理和高阶导数公式,xy02C1C2例3解根据高阶导数公式有根据复合闭路原理xyCC1C2xyCC1C2同理于是例4由Cauchy积分定理得解由Cauchy积分公式得§5解析函数与调和函数的关系设f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在区域D内解析，则即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义定理由上面的讨论，已经证明了：定义上面定理说明：由解析的概念得：现在研究其反问题：如目录定理

公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，C-R方程C-R方程目录

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。目录例1解法1解法2解法3故答案：

本章主要内容有向曲线复合闭路定理原函数的概念复积分高阶导数公式Cauchy积分定理积分的性质积分的计算闭路变形定理Cauchy积分公式积分公式及计算解根据Cauchy积分