《复变函数》(工科)课件 No.7

§3.2柯西-古萨基本定理

沿某一条曲线§3.1复变函数的定义、性质与计算第三章复变函数的积分1柯西-古萨基本定理

定理3.1设C是一条简单闭曲线.函数f(z)在以C为边界的有界区域D内解析，在闭区域上连续.那么:CB2345于是6可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况.设函数f(z)在多连通域D内解析,C为D内的任意一条简单闭曲线,当C的内部不完全含于D时,沿C的积分就不一定为零.

假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线,C1在C内部,而且以C及C1为边界的区域D1全含于D.作两条不相交的弧线AA'及BB',其中A,B在C上,A'B'在C1上这样构成两条全在D内的简单闭曲线AEBB‘E’A‘AE及AA’F‘B’BFA.复合闭路定理7DCC1AA'BB'D1FEE'F'8将上面两等式相加,得9(3.13)说明,如果将C及C1-看成一条复合闭路G,其正向为:沿C逆时针,沿C1-顺时针,则(3.13)说明,在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点.这一重要事实,称为闭路变形原理10D变形过程中不能够经过f(z)不解析的点.11复合闭路定理:12证明思路?(见下图,…)13DCC1C2C314例3.5从本章§1的例3.2知:当C为以z0为中心的正向圆周时,15[解]函数在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的.由于G是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线,因此,它也包含这两个奇点.在G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2,C1只包含奇点z=0,C2只包含奇点z=1.例3.6计算的值,G为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线.16则根据复合闭路定理的i),可得xyO1GC1C21718课堂练习：P54，5（1）（3）：计算下列积分，其中c是正向圆周|z|=1：（1）（3）19§3.3原函数与不定积分20定理:如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,则积分与连接起点及终点的路线C无关.z1z2BC1C2z1z2C1C2B21由定理可知,解析函数在单连通域内的积分只与起点z0和终点z1有关,如图所示,我们有z1z2BC1C2z1z2C1C2B22固定z0,让z1在B内变动,令z1=z,则积分在B内确定了一个单值函数

对这个函数我们有定理3.3

如果f(z)在单连通域B内处处解析,则函数F(z)必为B内的一个解析函数,并且

F'(z)=f(z).23[证]从导数的定义出发来证.设z为B内任意一点,以z为中心作一含于B内的小圆K,取|Dz|充分小使z+Dz在K内.于是z+DzzKzz02425则任给e>0,存在d>0,当|z-z|<d即|Dz|<d时,总有 |f(z)-f(z)|<e,因此26定义3.2如果函数j(z)在区域D内的导数等于f(z),即j'(z)=f(z),则称j(z)为f(z)在区域B内的原函数.

f(z)的任何两个原函数相差一个常数.设G(z)和H(z)是f(z)的两个原函数,则[G(z)-H(z)]'=G'(z)-H'(z)=f(z)-f(z)=0.所以 G(z)-H(z)=c,c为任意常数.27因此,如果函数f(z)在区域B内有一个原函数F(z),则它就有无穷多个原函数,而且具有一般表达式F(z)+c,c为任意常数.

跟在微积分学中一样,定义:f(z)的原函数的一般形式F(z)+c(其中c为任意常数.)为f(z)的不定积分,记作:28定理3.5如果f(z)在单连通域B内处处解析,则

（1）对任意常数C，

（2）G(z)为f(z)的一个原函数,则这里z0,z1为域B内的两点.[证]因为也是f(z)的原函数,所以29当z=z0时,根据柯西-古萨基本定理,c=-G(z0)有了原函数,不定积分和积分计算公式(3.16),复变函数的积分就可用微积分学中类似的方法去计算.30例3.7求积分的值[解]函数zcos

z在全平面(单连通）内解析,容易求得它有一个原函数为zsin

z+cos

z.所以31例3.8试沿区域Im(z)0,Re(z)0内的圆弧|z|=1,计算积分[解]函数在所设区域(单连通）内解析.3233课堂练