数列求和7种方法(方法全-例子多)

11n133.11n133数列求的本方法技一总：列和7方：利等、比列和式错相法和反相法和分相法和裂消法和分求法合法和利数通法和二等数求的法逆相法等数的和法错相法三逆相法错相法数求的个本法一利常求公求利用下列常用求和公式求和是数求和的最基本最重要的方1、差数列求和公式：

Sn

n)1nnad22、比数列求和公式：

na(1)an111

((3、

(n

、

nnk

2

n1)(2n5、

3n(n

[1]

x3

32

，求

x3

的前n解：由

x3

32由等比数列求和公式得.

23

（利用常用公式）

*n＝.*n＝x)＝1

1)

－

12[2]S＝1+2+3+，n∈N,n

f(n

(nS

的最大解：由等差数列求和公式得

Sn

11nS(2)2

（利用常用公式）∴

f(n

(n

＝

nn264＝

164n34(n

18n

)50

150∴当

n

88

，即n时，

f(nmax

150.

ｎ2223ｎ22232题1.比列

的ｎ和S＝2－１则ｎ＝题2若+…+(=bn+，则==.

.解

原

式=

答

案二错相法和这种方法是在推导等比数列的前公式时所用的方法，这种方法主要用于求数{a}的nnn项和，其{a}b}分别是等差数列和等比数nn[3]

xx2x3

……①解：由题可知

n

的项是等差数{2n－1}的项与等比数{

的项之积设

xSx

x

……②

（设制错位）①－②得

(1Sxx3x4

（错位相再利用等比数列的求和公式得：

Sxn

1n1

(2

n.

n.n∴

Sn

(2

n

(22

n

)[4]

2,,,232n

前的2解：由题可知}的项是等差数{的通项与等比数}项之积2n设

242nS22232

…………………22nS2223n

……………

（设制错位）①－②得

222n(1)S222122n2n

（错位相∴

S4n

n2练习题1

已知求列a的前nSnn答案：.

.练题2

的n项和____答：三反相法和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序数列相加，就可以得到n

()

[5]

2nn证明：设

……①把①式右边倒转过来得C

(2nC

（反序）又由.

mCn

可得

xxcosC

C

C

……………②①+②得

)2(

（反序相加）∴

(n

[6]

sin222289

的值解：设

Ssin

sin

sin

sin

…………①将①式右边反序得Ssin

sin

…………

（反序）又因为

sincos(90

2

x

（反序相加）2

2

2

2

2

cos

2

2

2

89

cos

2

89

＝89∴＝44.5题1已知函数.

.明：

；

的值解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左=右边用第1题已经证明结论可知，.

.两式相加得：所以.

nannnn332.nannnn332练习、求值：四分法和有一类数列，既不是等差数列，不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、比或常见的数列，然后分别求和，再其合并即[7]的前n和：

1

114,a2

n

，…解：设

Sn

112)aa2将其每一项拆开再重新组合得1Sa

（分组）当a＝1

Sn

n(3nn＝22

（分组求和）11当时n1a[8]前n

(3nnn＝22解：设

k(kk

1)(2k

2

∴

(k(2n

k

)k将其每一项拆开再重新组合得

3

（分组）k

k＝

2(1

.

n.n＝

n(n2(n1)(222

（分组求和）＝

n(n22

(2)五裂法和这是分解与组合思想在数列求和的具体应用的实质是将数列中的每项（通项）分解然后重新组合，使之能消去一些项，终达到求和的目项分（）

afn

f()

）

sin1cos

tan

）

an

111n(n

n

)()1)(2n2nn）

an

11[n(n2n((n2)

](6)

n

12(1nn(2nn(n

n）

a

11)()(An)CAn）

a

1nn

n[9]求数列

11

12

,

1n

,

的前n解：设

an

1nn

n

（裂项）则

Sn

11

12

1n

（裂项求和）＝＝

(1)3n

2)[10]在数{}中，n

a

12，n

，求数{}项的n.

n.n解：

an

1nnn2∴

18()nn2

（裂项）∴}的前n和1111S))))]23n

（裂项求和）＝

8(1

18)n[11]求证：

11cos1cos0cossin1解：设

S

110cos1cos2∵

sin1coscos(

tan(tan

（裂项）∴

S

110cos1cos2cos89

（裂项求和）＝

1

{(tan1)(tan))8988]}＝

1sin1

(tan89tan)

1＝＝sin1

cos1sin∴成立练题1..

.答：

.练题2。

答案：.

cos(180六分求法合法和针对一些特殊的数列，将某些项并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可这些项放在一起先求和，然后再求n[12]的值.解：设Sn∵

（找特殊性质项）∴S＝（cos3°+）+·n）+＝

（合并求和）[13]数{a}n

aa3,a2,13n

，求2002解：设S＝2002

aa123

2002由

aa3,a1

n

n

n

可得aa4aa712……a

6

6k

3,a

6

a

6k

a

6k

a

6k

∵

a

6

6

6

6

6k

6k

（找特殊性质项）∴＝2002

aa123

2002

（合并求和）＝

aa1367

6

6

6

1993

1994

1998

a1999

2000

a

2001

2002＝

a1999

a

2000

2001

2002＝

a

6k

6

a

6k

6＝5[14]在各项均为正数的等比数列中，若

aalogaa563

的值解：设

logn313由等比数列的性质.

anp

（找特殊性质项）

.和对数的运算性质

log

a

log

a

Nlog

a

N

得(logaa)logaan331032536

（合并求和）＝

(log

3

a(log)11036＝

log933＝10练习、求和：.

.练

习

题1

设

，

则答案

.练题2

．若S则n

S+S＋Ｓ173350

等于

).

222212312nA.1C.0.2解n项要分奇偶分别解决S

答案：A练习题3

100+98-97

的值是A.5000B.5050解：并项求和，每两项合并，原=案B七利数的项和先根据数列的结构及特征进行分，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规来求数列的前和，是一个重要的方[15]求

n1

之和解：由于

11个1

999k个1

k

（找通项及特征）∴

n个1＝

111(10(10999

n

（分组求和）＝＝

1(109n1n99＝

181

n

n.

nnann.nnann[16]已知数{}n

n

(nn

求ann

的解：∵

(an

n

)n

1(nn2)(n4)

]

（找通项及特征）＝

8

11(2)(n(nn4)

]

（设制分组）＝

4

11)8()n2n

（裂项）∴

11(a))()nnn

（分组、裂项求和）＝＝

143133

1)4提高练：1．知数n项和，并