第4章拉丁方试验设计与分析

拉丁方试验设计一、拉丁方格二、标准拉丁方格三、n阶拉丁方格的个数四、正交拉丁方格五、拉丁方格在安排试验中的应用六、几点说明七、拉丁方试验的直观分析八、拉丁方试验的方差分析一、拉丁方格1.定义：用r个拉丁字母排成r行r列的方阵，使每行每列中每个字母都只能出现一次，这样的方阵叫r阶拉丁方或r×r拉丁方。2.N阶拉丁方格2阶或2×2拉丁方

ABbaBCab

（I）（2）ABCBCA3阶或3×3拉丁方CABABCDBCDA4×4拉丁方CDABDABC二、标准拉丁方格1。定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母顺序排列。2.N阶标准拉丁方格的个数

2×2标准拉丁方只有一个ABBAI

3×3标准拉丁方只有一个ABCBCAICAB4×4标准拉丁方有4个

ABCDABCDABCD

ABCDBADCBADCBCDABDACCDBACDABCDABCABDDCABDCBADABCDCBA

（I）（II）（III）（IV）三、n阶拉丁方格的个数一、方法：每个拉丁方格可用标准拉丁方格对行号或列号随机化排列方法得到其它符合要求的拉丁方格二、操作：

1.选中一个标准拉丁方格，编上行号或列号

2.固定行号，列号用不同排列得到。有n!种

3.固定第二步得到的n!个方格的列号及第一行行号其它行用不同排列生成(n-1)!方格三、n阶拉丁方格的个数

4.计算总数SS=k·n!·(n-1)!K为标准拉丁方格个数三、实例：

n=2时，k=1,s=1·2!

·1!=2n=3时，k=1,s=1·3!

·2!=12n=4时，k=4,s=4·4!

·3!=576三、3阶拉丁方格的个数:121232311ABC1BCA2BCA2CAB…3CAB3ABC(i)(2)…(6)1232311ABC1BCA3CAB3ABC2BCA2CAB(7)(8)…(12)四、正交拉丁方格组合方格（I）和（7）：先编号再组合A1B1C1A7B7C7A1A7B1B7C1C7B1C1A1C7A7B7

B1C7C1A7A1B7C1A1B1B7C7A7C1B7A1C7B1A7合成方格具有以下性质1.A1，B1，C1在各行各列中各出现一次2.A7，B7，C7在各行各列中各出现一次3.A1，B1，C1和A7，B7，C7各组合一次（如对A7：A1A7，B1A7和C1A7

各出现一次）四、正交拉丁方格定义:凡满足3的两个拉丁方格是相互正交的定理：在nxn方格中，当n(>2)为素数或素数的幂时就有n-1个正交拉丁方格特例：n=2时，无n=3时，有n-1=2个N=4时，有n-1=3个：22N=5时，有n-1=4个N=6时，没有：不为素数或素数的幂N=7时，有n-1=6个N=8时，有n-1=7个：233X3，4X4正交拉丁方格系

3X34X4IIIIIIIII12312312341234

1234231312214334124321312231341243212143432121433412五、拉丁方格在安排试验中的应用消除与试验目的无关因素的影响例1：考察ABC三种不同水稻品种对亩产量的影响，需安排“单因素三水平”试验

(a)(b)(c)ABCACACBBBACABCBCACAB五、拉丁方格在安排试验中的应用在同样精度下可减少试验次数；在同样试验次数下可提高结论的准确性例2：生产某种染料需三种原料：A-硫磺，B-烧碱，C-二硝基，每种原料均取四个水平，要找一个最好的配方，使质量又好，成本又低，应怎样安排试验？全面试验：43=64次先考虑A，B两因素的全面试验，共16次五、拉丁方格在安排试验中的应用再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2，C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表问：A1B1C4没出现，那这个试验安排会最优吗？B1B2B3B4A1A1B1C1A1B2C2A1B3C3A1B4C4A2A2B1C2A2B2C1A2B3C4A2B4C3A3A3B1C3A3B2C4A3B3C1A3B4C2A4A4B1C4A4B2C3A4B3C2A4B4C1五、拉丁方格在安排试验中的应用例3：生产某种染料用四种原料：A-硫磺，B-烧碱，C-二硝基，D-硫化碱，每种原料均取四个水平，要找最好配方，试验又该怎样安排？CD用II，III正交拉丁方格B1B2B3B4A1A1B1C1D1A1B2C2D2A1B3C3D3A1B4C4D4A2A2B1C3D4A2B2C4D3A2B3C1D2A2B4C2D1A3A3B1C4D2A3B2C3D1A3B3C2D4A3B4C1D3A4A4B1C2D3A4B2C1D4A4B3C4D1A4B4C3D2六、几点说明由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只能安排2+3=5个因素。用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间无交互作用。优点：使用简单，搭配均衡。思考三水平能安排几个因素的试验？A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正交方格组成吗？答案4个1。A和B的全面试验2。C与D的3X3正交方格的组合3。1和2的组合可以。只要各因素的4个水平与另一个因素的4个水平各相遇一次，搭配均匀即可。七、拉丁方试验的直观分析例：烟灰砖折断力试验试验目的：寻找最佳工艺条件,折断力是指标因素水平：生产经验知应选如下：因素水平A(％)成型水分B(分)碾压时间C(公斤)一次碾压料重1873402101037031213400用拉丁方安排试验B1B2B3A1A1B1C1A1B2C2A1B3C3A2A2B1C2A2B2C3A2B3C1A3A3B1C3A3B2C1A3B3C2B1B2B3KAikAiKCkkCkA116.818.916.552.217.458.919.6A218.823.420.262.420.861.820.6A326.221.924.172.224.066.122.0KBj61.864.260.8RA=6.6RC=2.4kBj20.621.420.3RB=1.1RA>RC>RB七、拉丁方试验的直观分析1.由RB<RC<RA由知对折断力影响从主到次的因素排序为A，C，B2.由kA3>kA2>kA1由知A的水平3好；同理….最佳工艺条件为A3B2C33.当最佳点在试验范围的边界时，要扩大试验范围。如A3，C3工还可取水分14，碾压重取340kg.4.A3B2C3在试验中没有安排，但拉丁方却具备找出的此类结果的能力。5.实际上这是一个极差分析法。八、拉丁方试验的方差分析在研究对虾的配合饲料试验时，需要比较5种配方的效果，现有5台饲料机和5个操作人员，这些机器的性能和操作人员的技术有所差异，在试验中必须消除由这两个外来变源造成的影响。对于这个问题可以按下面的方法进行试验。用每台机器做所有的5种配方，5个操作人员每人也做所有的5种配方，用这个设计进行试验，得到的结果（增重）如表。表中拉丁字母A、B、C、D、E表示5种配方。拉丁方设计可以在不增加试验次数的条件下，同时克服两个外来的变源的影响，但它要求试验总次数为该因素所设水平数的平方，且要求该因素与这两个方向上的划区作为因素来看，彼此间没有交互作用。对虾饲料配方问题的拉丁方试验结果机器操作者（k列）12345Ti..T.j.12345A=12B=10C=11D=13E=11B=10C=12D=15E=14A=13C=11D=15E=13A=13B=10D=12E=13A=13B=11C=15E=12A=17B=11C=11D=1557676362646852607063T..k5764626466T=313T..k23249409638444096435619641解：1.拉丁方设计的统计模型是

Xijk=u+ai+bj+ck+eijk

i,j,k=1,2,…,p,