高中数学 第二章 空间向量的数量积运算 北师大选修21

空间向量的数量积运算北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》1.一、共线向量:零向量与任意向量共线.

1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ使2.

推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量a叫做直线的方向向量.OABPa若P为A,B中点,则3.2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使4.推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使

或对空间任一点O,有

注意：空间四点P、M、A、B共面实数对5.平面向量数量积的相关知识复习：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量a与b的夹角。已知两个非零向量a和b，在平面上取一点O，作OA=a,OB=b,则6.平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积已知两个非零向量a,b，则|a||b|cos叫做向量a,b的数量积，记作即并规定07.教学过程一、几个概念1）两个向量的夹角的定义OAB8.2）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。9.3）射影BAA1B1注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。10.4)空间向量的数量积性质注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：11.5)空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律12.二、课堂练习13.三、典型例题

例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且

l⊥m，l⊥n，求证：l⊥分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmnll要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn

要证l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝014.三、典型例题

例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥nmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使

g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥15.例2：已知：在空间四边形OABC中,OA⊥BC，

OB⊥AC，求证：OC⊥ABABCO

16.巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理aAOP17.例3如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，求、之间的距离。解：由，可知.由知.

18.例4已知在平行六面体中，,,求对角线的长。解：19.1.已知线段、在平面内，，线段，如果，求、之间的距离.解：∵20.2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。证明：因为所以同理，21.3.已知空间四边形，求证：。证明：∵22.4.如图，已知正方体，和相交于