高中数学综合复习 函数 新课标 人教 必修1(A)

函数.一一映射映射函数奇偶性单调性应用对数函数指数函数知识结构.（一）知识点归纳1、映射、函数、函数的三要素、函数的单调性、函数奇偶性。2、反函数，互为反函数的函数图像间的关系。3、指数,对数;指数函数,对数函数（二）典例分析（三）单元测试.例1函数y=log(x2-2x+3)的定义域为_____值域为_____，单调增区间为______，减区间为______。解：x2-2x+3>0∴x∈Rx2-2x+3=(x-1)2+2≥2

∴y=log(x2-2x+3)≤-1单调增区间为（-∞,1]，减区间为[1,+∞）.例2y=log2的值域为_______，增区间为______，减区间为_______。解：-(x2-6x+5)>0x2-6x+5<01<x<5∴y=log2

≤log22=1

∴值域为y≤1增区间为（1，3]减区间为[3，5）.例3函数y=log(x2-ax-a)在区间(-∞,1-)上是增函数则a的范围是_______。（f(x)=log(3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是减函数则a范围为______）。解：∵x2-ax-a=(x-)2--a∵y=log(x2-ax-a)在(-∞,1-)上是增函数∴≥1-(1-)2-a(1-)-a≥0∴2-2≤a≤2.例4当x∈(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，则a的范围是________。解：令y1=(x-1)2y2=logax当曲线y=logax过A(2,1)时1=loga2

∴a=2欲使x∈(1,2](x-1)2<logax恒成立必须使1<a≤2A(2,1)12xyO.例5函数y=log2x+logx单调减区间为___。解：令t=logxy=t2+t=(t+)2-∴logx≥-∴0<x≤∴函数y=log2x+logx单调减区间为(0,].例6设0<a<1，x，y满足logax+3logxa-logxy=3若y有最大值为，求此时a值及x的值。解：logxy=logax+-3

∴logay=log2ax-3logax+3

a=∴a=

∴logx=∴x=()=.例7函数y=logax(0<a<1)x≥1的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为t，t+2，t+4。（1）若△ABC面积为S，求S=f(t)。（2）判断S=f(t)的单调性。（3）求S=f(t)的最大值。0SttABCt+2t+4A′

B′

C′

.解：A(t,logat)B(t+2,loga(t+2))C(t+4,loga(t+4))S=SAA′BB′+SBB′CC′-SAA′C′C=(|logat|+|loga(t+2)|)+(|loga(t+2)|+|loga(t+4)|)-2(|logat|+|loga(t+4)|)∴t≥1∴S=logaS=loga(1-)在[1+∞)上为减函数（3）∴当t=1时S大=loga.例8当0<a<1时方程a|x|=|logax|解的个数为_____个。例9方程ax+1=-x2+2x+2a(a>0,且a≠1)解的个数为______。解：-x2+2x+2a=-(x-1)2+2a+12a+1>a+1AByx10xyx=120.例10已知x1是方程x+lgx=4的解，x2是方程x+10x=4的解，则x1+x2=_____。（A）5（B）4（C）3（D）1法1：∵x1+lgx1=4又x2+10x2=4∴3<x1<40<x2<1∴3<x1+x2<5∴选B.法2lgx=4-x10x=4-x∴x1+x2=4法3令lgx1=t则x1+t=4x1=10t

∴10t+t=4又∵x2+10x2=4∴t=x2∴x1+x2=4xyx2x1(2,2).例11已知关于θ的方程sin2θ+acosθ-2a=0有实数解，求实数a的范围。解：原方程可化为：cos2θ-acosθ+2a-1=0令cosθ=t-1≤t≤1t2-at+2a-1=0.法1令f(t)=t2-at+2a-1△≥0f(1)·f(-1)≤0-1≤

≤1∴a·3a≤0∴a=0f(-1)≥0f(1)≥0∴0≤a≤4-2xyO-11xyO-11或.法2a==4-(+2-cosθ)≤4-2∴0≤a≤4-2法3原方程可化为：cos2θ-1=a(cosθ-2)t2-1=a(t-2)0≤a≤4-2ty0.例12某厂1、2、3月的产量分别为1，1.2，1.3（万件）日产量是月份的函数，模拟函数可以为二次函数，也可以为函数g(x)=a·bx+c。已知4月份产量为1.37（万件）问用哪一个函数模拟好？解：设f(x)=px2+qx+r由题设知：p+q+r=14p+2q+r=1.29p+3q+r=1.3.∴p=-0.05q=0.35r=0.7f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3又ab+c=1ab2+c=1.2ab3+c=1.3∴a=-0.8b=0.5c=1.4∴g(x)=-0.8·0.5x+1.4g(4)=-0.8·0.54+1.4=1.35∴用g(x)好。.例13设a>0，a≠1为常数，函数f(x)=loga（1）讨论f(x)在区间(-∞,-5)内的单调性，并给予证明。（2）设g(x)=1+loga(x-3)如果方程f(x)=g(x)有实根，求a的范围。解：设U(x)=x1<x2<-5则U(x1)-U(x2)==.∵x1<x2<-5∴x1-x2<0x1+5<0x2+5<0∴U(x1)-U(x2)<0∴U(x)在(-∞,-5)上是增函数。当a>1时f(x)=loga在(-∞,-5)上是增函数。当0<a<1时f(x)=loga在(-∞,-5)上是减函数。.（2）loga=1+loga(x-3)有大于5的实根∴a(x-3)=a[(x-5+2]=令x-5=t(t>0)a(t+2)=∴==t++12≥12+4∴a≤=∴0<a≤。.单元测试一、单选题1）若指数函数y=f(x)反函数的图像过点(2,-1)，则此指数函数是（）(A)y=()x(B)y=2x(C)y=3x(D)y=10x2）若f(x)=，则f()=-的解为（）（A）2（B）-2（C）±2（D）±13）若函数y=f(x)的定义域是[-2,2]，则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是（）(A)[-4,2](B)[-2,2](C)[-2,4](D)[-4,-2].4）设集合A和B都是坐标平面上的点集|(x,y)|x∈R,y∈R|，映射f:A→B把A中的元素(x,y)映射成B中的元素(x+y,x-y)，则在映射下，象(2,1)的原象是（）(A)(3,1)(B)(,)(C)(,-)(D)(1,3)5）函数y=f(x)的定义域和值域都是(-∞,0),那么函数y=f(-x)的图像一定位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限.6）如果0<a<1,0<x2<x1，则下列各式中正确的是（B）（A）1<ax2<ax1（B）ax1<ax2<1（C）ax2<ax1<1（D）ax1<1<ax27）若函数f(x-1)是偶函数，则函数f(x)()(A)以x=1为对称轴(B)以x=-1为对称轴(C)以y轴为对称轴(D)不具有对称性8）已知f(x)=asinx+b+4(a,b∈R)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（）（A）-5（B）5（C）-3（D）3.9）已知函数f(x)，(x∈R)满足：(1)f(1+x)=f(1-x)；(2)在[1,+∞)上为增函数；(3)x1<0,x2>0，且x1+x2<-2，则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是（）(A)f(-x1)>f(-x2)(B)f(-x1)=f(-x2)(C)f(-x1)<f(-x2)(D)无法确定10）若f(x)为奇函数，且在(-∞,0)内是增函数，又f(-2)=0，则x·f(x)<0的解集为（）(A)(-2,0)∪(0,2)(B)(-∞,-2)∪(2,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-2,0)∪(2,+∞).11）若f(x),g(x)均为奇函数，且F(x)=af(x)+bg(x)+1在(0,+∞)上有最大值4，则F(x)在(-∞,0)上有最小值（）（A）-4（B）-2（C）-1（D）312）定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图像与y=f-1(x+a)+b的图像间的关系是（）(A)关于直线y=x+a+b对称(B)关于直线x=y+a+b对称(C)关于直线y=x+a-b对称(D)关于直线x=y+a-b对称.二、填空题13）已知函数f(x)=ax2+b(x<0)的图像过点(-2,11),f(x)的图像过点(2,-1)，则a=___，b=___。14）已知logx3<logy3<0，则0,1,x,y之间的大小关系是_________。15）已知0<a<1，则方程a|x|=|logx|。实根的个数是____个。16）设函数g(x)=是奇函数，则a=__。.三、解答题17）设f(x)是R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上递增，若有f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)，求a的取值范围。解：∵2a2+a+1>03a2-2a+1>0∴2a2+a+1>3a2-2a+1a2-3a<00<a<3.18）已知常数a>1，变数x,y之间有关系式：logax+3logxa-logxy=3。（1）若x=at(t≠0)，试求以a,t表示y的表达式；（2）若t的变化范围为[1,+∞)此时y的最小值为8，求a和x值。解：（1）logax+3logxa-logxy=3

∴=logax+-3

∴logay=loga2x-3logax+3y=a=a（2）当t=时y小=a=8

∴a=8=16此时x=16=64.19）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A，B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。解：(1)y=ax2+bx+c∴ax2+bx+c=-3xy=-bxax2+2bx+c=0①△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4[(a+)2+c2]∵a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0∴△>0∴两函数图象交于两个不同点。.（2）设方程两个根分别为x1,x2则x1+x2=-x1x2=|A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-===4a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0a>-a-c>c

∈(-2,-)∴|A1B1|2∈(3,12)<|A1B1|<2.20）如图所示，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米，现在要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路与公路的每吨千米的运费之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省。D点应选在何处？解：设|AD|=x铁路上每吨千米运费为3k，公路为5k。总运费y=5k+3k(100-x)(0≤x≤100)∴=5-3xADBC.令=t∴(t+3x)2=25(x2+400)∴16x2-6tx+10000-t=0

△=36t2-4×16(10000-t)≥0∴t≥80当t=80时x=15时，即D取在距A15千米处，总运费量省。法2设∠ACD=a则总运费量y=3(100-20tana)+5×=300+()小=此时tana=∴AD=15（千米）.21）已知函数f(x)=3x且f-1(18)=a+2，g(x)=3ax-4x的定义域为区间[0,1]。（1）求g(x)的解析式；（2）求g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；（3）求g(x)的值域。解：（1）∵f(x)=3x且f-1(18)=a+2∴f(a+2)=3a+2=183a=2∴g(x)=2x-4x.（2）令t=2g(t)=t-t2=-(t-)2+t∈[1,2]

∵g(t)在[1,2]上单