高中数学直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系

(3).一线面成角相关概念

DD1C1CAA1BB1直线AA1和平面ABCD是什么关系?直线A1B.A1D.A1C和平面ABCD的位置关系?直线A1B.A1D.A1C与点B.C.D它们又如何命名呢？观察如图所示的长方体

ＡＢＣＤ－A1B1C1D1.1.抽象出它们的位置关系如图一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线与平面交点叫做斜足斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段过斜足和垂足的直线叫做斜在这个平面上的正投影(简称射影)平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角∠ＰＱＰ１.斜线斜线段PP1αQ斜足射影.当一条直线和一个平面垂直时,称这条直线和这个平面成900的角,当一条直线和一个平面平行时,称这条直线和这个平面成00的角.注意.想一想？1.平面的斜线和平面所成的角的范围是什么?直线和平面所成的角的范围呢?2.若平面α的斜线l和平面所成的角为θ1,平面α的斜线l和平面内任一直线所成的角为θ2,试比较θ1和θ2的大小关系,并给以证明..例1如图,∠BAC在平面α内，点P∈α∠PAB﹦

∠PAC求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．αACBPEFO分析：要证明P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上，首先应作出点P在平面上的射影O，再证∠BAO﹦∠CAO即可．要证∠BAO﹦∠CAO，只需证明含这两个角的三角形全等．.例２求证如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这个平面内的射影垂直．证明空间两条直线垂直的方法有哪些？（１）定义法：若直线a和直线b所成的角为９００则a⊥b（２）根据线面垂直的性质定理：由“线面垂直推得线线垂直”．（３）“线线垂直＝＞线面垂直＝＞线线垂直“.AaOP

如图：已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。二．三垂线定理.三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件思考APOaα.PAOaα三垂线定理包含的垂直关系②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直.PAOaαbcd三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：

①相交直线

②异面直线思考.直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b例如：当b⊥时，b⊥OA但

b不垂直于OP

思考.×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）练习：1判断下列命题是否正确：××.1．如图，∠BAC＝900,PC⊥平面ABC，则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:（１）与PC垂直的直线（２）与PA垂直的直线

PABC2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角是?３.若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（）A.只有一条B.有无数条C.是平