高中数学第一章：《三角函数》复习（苏教必修4）

三角函数图象性质任意角三角函数基本关系式诱导公式高中数学知识体系注意问题方法指导首页结束放映.第三章立体几何初步第四章平面解析几何初步高中数学总知识体系第七章不等式第八章数列、极限、数学归纳法第九章复数第十章排列组合、二项式定理必修一立体几何代数(下册)解析几何第五章直线和平面第六章多面体和旋转体第十一章直线和圆第十二章椭圆、双曲线、抛物线第十三章参数方程、极坐标回首页第一章集合第二章函数概念与基本初等函数必修二.

(2)角的度量:

角度制:圆周360等分之一的弧所对的圆心角为1角.

弧度制:等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度角.换算:=180,1(弧度)57174557.3,1=(弧度).(一)任意角的三角函数1.角的概念2.三角函数(3)终边相同的角与象限角的表示:{|=2k+,kZ}或{|=360k+,kZ}(,终边相同)x轴正半轴=2k,kZx轴负半轴=2k+,kZ2y轴正半轴=2k+,kZy轴负半轴=2k+,kZ3222k+2k<<,kZ终边相同的角轴线角象限角ⅠⅡⅢⅣ2k+<<2k+2,kZ322k+<<2k+,kZ321802k+<<2k+,kZ21.角的概念:

(1)正角、负角、零角的含义.返回练习.2.三角函数:

(1)三角函数的定义:

正弦sin;余弦cos;

正切tan;余切cot;

正割sec;余割csc

(4)特殊角的三角函数值:(3)三角函数的符号:(正弦一二象限取正,余弦一四取正,正切一三取正)sincostancot06432322.PO

xy设P(x,y)为终边上任一点,则:sin=,cos=,tan=,cot=,sec=,csc=.其中r=x2+y2.rxryyxyrxrxy(2)用线段表示三角函数:正弦线MP、余弦线OM、正切线AT、(余切线)OMAPTxy其中A(1,0),试画出其他象限角对应的三线,并说出正负!01222332232323310-1101210不存在不存在-100不存在0010不存在不存在0133余切、正割、余割呢？又问：第一象限谁取正？自己先试说说它们是怎样用这平面直角坐标系定义的..练习一(4题)1.设的终边在直线y=-2x上,那么sin的值为()(A)(B)(C)(D)55255255-255C2.把-75化成弧度,并以弧度制写出与这个角终边相同的角的集合.755答:-75=-——=-—，与这个角终边相同的角的集合为:{|=2k-—,kZ}180125123.下列各组角中,终边相同的一组是()(A)与k+(kZ)(B)(2k+1)与(4k1)(kZ)(C)k+与2k(kZ)(D)k+与(kZ)k22663k3B4.已知是第二象限角,那么-、、各是第几象限角?23答案:-是第三象限角,是第一或第三象限角,是第一或第二或第三象限角.32详解详解解题提示:令k=-1,0,1,2,3,4等列出几个值即可比较得.返回回首页.解:设直线上一点P的坐标为(x,y),其中x≠0,y=-2x,则r=x2+y2=x2+(-2x)2=5|x|,sin=—=——

=5|x|-2xyr255-255(x>0)(x<0)返回题(简):设的终边在直线y=-2x上,那么sin的值为()说明：这题极易选错,可判断对定义理解的透彻性..解:∵为第二象限角,∴2k+<<2k+(kZ)∴-2k-<-<-2k-(kZ),即-是第三象限角.又k+<<k+(kZ),分别令k为奇数和偶数,可知为第一或第三象限角,同法可求得是第一或第二或第三象限角.注意不等式运算性质.2224223返回题:已知是第二象限角,那么-、、各是第几象限角?23.(二)同角三角函数的基本关系式1.关系式2.应用1.关系式(三倒二商三平方):

(1)sincsc=1;cossec=1;tancot=1(2)tan=;cot=(3)sin2+cos2=1;1+tan2=sec2;1+cot2=csc2cossinsincos2.利用上述关系,可以解决以下问题:

(1)已知某角的一个三角函数值,求其他各三角函数值;(2)化简某些三角函数式;(3)证明某些三角恒等式.例:已知sincos=,且<<,则cos-sin=_______.1842-32详解应够熟练吧?要再做3题吗?要!不!这是由定义得出的最基本性质,它与后面的返回.解:

sincos=,而sin2+cos2=1,∴(cos-sin)2=sin2+cos2-2sincos=1-=又<<∴sin>cos,∴cos-sin=-

1814342432返回.2.已知tan=,则=_________.cos+sincos-sin2提示:显然cos≠0,分子分母同除以cos后代入即得1.已知是第三象限角,则sec1+tan2+tansec2-1=()(A)1(B)1(C)-1(D)以上都不对3.已知:(0,),化简1+2sincos-1-2sincos.2-3-22提示:原式=sec|sec|+tan|tan|,又为第三象限角,∴sec<0,tan>0,从而得.C解:原式=(sin+cos)2-(sin-cos)2

=|sin+cos|-|sin-cos|当0<≤时,0<sin≤cos;当<<时,0<cos<sin∴原式=2sin2cos(0,](,)242444返回行了!.用公式时都是把看作锐角,先化简式子,最后再转化!(三)诱导公式1.常用的六组诱导公式2.利用诱导公式求任意角的三角函数值1.常用的六组诱导公式:(1)2k+(即k360+)组(2)-(即180-)组(3)+(即180+)组(4)-组(5)-(即90-)组(6)+(即90+)组222.利用诱导公式求任意角的三角函数值,一般步骤:任意角的三角函数0到360角的三角函数任意正角的三角函数0到90角的三角函数查表看公式注意:做练习返回.(1)sin(2k+)=sin;cos(2k+)=cos;tan(2k+)=tan;cot(2k+)=cot.(2)sin(-)=sin;cos(-)=-cos;tan(-)=-tan;cot(-)=-cot.(3)sin(+)=-sin;cos(+)=-cos;tan(+)=tan;cot(+)=cot.(4)sin(-)=-sin;cos(-)=cos;tan(-)=-tan;cot(-)=-cot.22(5)sin(-)=cos;cos(-)=sin;tan(-)=cot;cot(-)=tan.22(6)sin(+)=cos;cos(+)=-sin;tan(+)=-cot;cot(+)=-tan.2222返回注意公式中的符号注意公式中的符号注意公式中的符号还有三组可由这几组化出，较少用，你知道是哪三组吗？相当于第一象限的角都取正号!以下的各组呢?也要找找规律!.提示:化简得:tan190=tan(180+10)=tan10,tan100=tan(90+10)=-cot10,tan350=tan(360-10)=-tan10,sin1590=sin(1590-1440)=sin150=sin30,cos(-1860)=cos(1800-1860)=cos(-60)=cos60,

或cos(-1860)=cos1860=cos(1860-1800)=cos60,cot(-960)=cot(1080-960)=cot120=-cot60,tan1395=tan(1395-1440)=tan(-45)=-tan45.练习二(4题)(2)cot10+tan190+tan100+cot350+sin1590cos(-1860)+cot(-960)tan1395=_____.1.若cos(-x)=,x(-,),则x的值为()(A)或(B)(C)(D)326765656234.已知tan(-)=a2且|cos(-)|=-cos,求sec(+)答案:1+a42.计算:(1)sin210+sin280+tan10tan80=_____.1963.化简求值:(1)sin(-)=_______.tan(+)cos3(--)cot(+4)cos(+)sin2(+3)(2)=_____.1-csc30sin1085sin2075cos5-1-sin295(3)=______.C23314+1211没问题吧？提示:化为sin210+cos210+tan10cot10这三小题方法与上题一样,应该能做对!详解返回回首页.题:已知tan(-)=a2且|cos(-)|=-cos,求sec(+)解:∵tan(-)=-tan=a2,∴tan=-a2≤0,又|cos(-)|=|cos|=-cos,∴cos≤0,而tan≤0,∴为第二象限角或在y轴负半轴,∴sec≤0,且sec=-1+tan2=-1+a4,∴sec(+)=-sec=1+a4.返回.(四)三角函数的图象与性质1.函数的图象与主要性质2.周期函数3.正弦型函数y=Asin(x+)的一些概念、性质1.正、余弦函数、正、余切函数的图象与主要性质{x|xR且x≠k+,(kZ)}21-12xyO1-12xO22xyO-函数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx一周期图象定义域值域单调性奇偶性周期2k+]↑(kZ)2[2k-,22k+]↓(kZ)32[2k+,22xyORR[-1,1]RR{x|xR且x≠k,(kZ)}在[2k+,2k]↑

(kZ)在[2k,2k+]↓(kZ)2k-,2k+)在((kZ)上都是增函数在(k,k+)(kZ)上都是减函数奇函数偶函数奇函数奇函数22返回练习[-1,1].2.周期函数和最小正周期的意义3.正弦型函数y=Asin(x+)的振幅、周期、相位、初相及其图象与函数y=sinx之间的关系对于函数y=f(x),如果存在一个常数T≠0,使得当x取定义域中的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)成立,那么函数y=f(x)叫做周期函数,T叫做f(x)的周期.对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在一个最小的正数,就把这个最小正数叫做最小正周期.

三角函数的周期概指最小正周期.(1)当A>0,>0时,A称为该函数的振幅,2=T称为函数的周期,(为角速度),x+称为函数的相位,称为函数的初相.(2)当A>0,>0,xR时,y=Asin(x+)的图象,可以看作把y=sinx的图象上的所有的点向左(当>0)或向右(<0)平移||个单位,再把所得的各点的横坐标缩短(>1)或伸长(0<<1)到原来的1/倍(纵坐标不变),最后再把所得的图象各点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)..解:函数化为y=-sin2x+4sinx+2=-(sinx-2)2+6.∵-1≤sinx≤1,而二次函数y=-(t-2)2+6在[-1,1]上是增函数,∴sinx=-1时,ymin=-3;sinx=1时,ymax=5.注意:这里“左加右减”指的是x的位置变换,即“x”变为“x+a”或“x-a”!(见第一章)练习三(6题)1.下列函数中,既在区间(0,)内递增,又是以2为最小正周期的偶函数是()(A)y=|sinx|(B)y=1-cos2(C)y=2cosx(D)y=cot2x2x2.要得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin2x的图象()(A)向左平移个单位3(C)向左平移个单位6(D)向右平移个单位6(B)向右平移个单位333.函数y=asinx+b的最大值为2,最小值为-4,则a=____,b=____.4.函数y=Asin(x+)(其中>0,A>0)的图象如右,则函数的解析式为________________________.yxO-(0,-)352-5.函数y=cos2x+4sinx+1的最大值为______.最小值为______.6.已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.详解BD3-1y=2sin(+)2x3535-3详解答案:(1)定义域(k-,k+)(kZ);值域{y|y≥0};(2)偶函数;(3)在(k-,k],在[k,k+)(kZ)4444详解详解返回回首页.xx题:下列函数中,既在区间(0,)内递增,又是以2为最小正周期的偶函数是()(A)y=|sinx|(B)y=1-cos2(C)y=2cosx(D)y=cot22解:(A)答案是以为周期的函数,且在[,)上是减函数,可排除;(C)答案中,t=cosx在(0,)单调递减,而y=2t为增函数,故该函数在(0,)单调递减,排除;(D)答案显然不是偶函数,且在(0,)单调递减,也可排除;故选(B),其实(B)中函数可化为y=sin2

(还可继续化为y=(1-cosx)),分析可知满足题意.2x212返回注:用排除法解选择题是常用方法!.题:函数y=asinx+b的最大值为2,最小值为-4,则a=____,b=____.解:∵sinx的最大值为1,最小值为-1,∴该函数的最大值为|a|+b,而最小值为-|a|+b,由题得:|a|+b=2,-|a|+b=-4,解得:a=3,b=-1.注:利用sinx和cosx的最大值为1,最小值为-1(有时还要结合二次函数图象性质,如后面的第5题)来出题解题是经常的事所以应该经常想起这点.返回.解:T=2[--(-)]=3,=3,=.又当x==-时,函数取最大值,-+=,即=.又图象过点(0,-3),有Asin=-3,则A=2.故解析式为y=2sin(+).5253537474--5222322x3232题:函数y=Asin(x+)(其中>0,A>0)的图象如右,则函数的解析式为____.yxO-(0,-)352-注:利用图象的直观性结合y=Asin(x+)曲线的特征确定A、、的值,是理解曲线与图象位置关系的重要内容,可培养数形结合、待定系数法解题思想.返回.(3)由cosx的单调性、定义域及复合函数单调性得:当2k-<2x≤2k(kZ)即x(k-,k](kZ)时,f(x)单调递减;同样得x[k,k+)(kZ)时,f(x)单调递增.424解:(1)由cos2x>0,得:2k-<2x<2k+(kZ)∴定义域为{x|k-<x<k+,kZ}又∵0<cos2x≤1,∴y≥0,即值域为{y|y≥0}.2244题:已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.(2)f(-x)=log0.5cos(-2x)=log0.5cos2x=f(x),∴(x)是偶函数.返回.(五)方法指导1.坐标法2.主元法3.递归法4.几何模型法5.图象变换法3.递归法:(1)诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数.(2)诱导公式中的角为任意角,确定符号时当锐角处理.(3)研究周期函数图象性质时,可先归到一特殊周期研究.1.坐标法(数形结合法的表现):角的概念在平面直角坐标系中出现,能直观地说明角的内涵,终边相同的角、象限角等概念能把众多角归类.2.主元法:当问题涉及多种三角函数或多个角时,据条件选取其中一个三角函数或一个角为主元,把其他各三角函数或角进行变换,化为主元三角函数或同角三角函数.简单说成:

化同名,化同角,切割常化弦.返回.证明:在平面直角坐标系中,取单位圆(如图).依定义可知,sin=MP,tan=AT,而即为弧AP的长.考虑三角形OMP和OAT及扇形OAP的面积,有S△OMP<S扇形OAP<S△OAT,

再据三角形及扇形面积计算得:MP<弧长AP<AT,故命题成立.[注:该结论应记住.]4.几何模型法:单位圆能直观地解释三角函数,因而成为几何工具.主要应用有:(1)用三角函数射影法作基本三角函数的图象;(2)直观地表示简单三角方程或简单三角不等式的解集;(3)证明诱导公式及一些重要的三角等式和不等到式.5.图象变换法:讨论正弦型函数y=Asin(x+)+h(A>0,>0)的图象作法,除了用“五点法”外,还有图象变换法(平移变换、伸缩变换).OMAPTxy例:已知(0,90),求证:sin<<tan..(六)注意问题1.区分“角”2.判断符号3.恒等变换4.活用公式5.由形察数6.对称问题1.区分“角”:

主要指当角相同时,三角函数值相等;而当三角函数值相等时,角不一定相等!特别是终边相同的角并不就是相同的角!初学三角函数时常会把它们混在一起.2.判断符号:

一指诱导公式中各符号的判断;二指利用“一倒二商三平方”的“平方关系”求值时,需根据角的范围来确定平方根号前的“+”或“-”号.

看个例题如:sin=0.5,(360,450),则=390,千万不能写成了30!如果用弧度制写更易出错!返回.3.恒等变换:

主要指在化简或证明过