高中数学第一轮总复习 第10章第54讲平面的基本性质与空间两条直线的位置关系 文

第十章立体几何几何初步.平面的基本性质与空间第54讲.平面的基本性质

【例1】回答下列问题：(1)不重合的三条直线相交于一点，最多能确定多少个平面；若相交于两点，又最多能确定多少个平面？(2)分别和两条异面直线都相交的两直线的位置关系是怎样的？.【解析】(1)依据“两条相交直线可确定一个平面”知：不重合的三条直线相交于一点，最多能确定3个平面．若三条直线相交于两点，则最多能确定2个平面(这里有两条直线为异面直线)．.(2)不妨设a、b为异面直线，直线c分别与a、b交于点A、B，直线d分别与a、b交于点C、D.若A、C重合或B、D重合，则直线c、d相交；若A与C和B与D均不重合，则c、d异面．(否则，c、d共面，不妨设c、d共面于平面α，则c、dα，所以A、B、C、D∈α.又A、C∈a，B、D∈b，所以a、bα，与a、b异面矛盾！).点评(1)中若去掉“最多”二字，则前者结论是1或3；后者结论是1或2.(2)题不易从正面说清，因而用反证法，体现“正难则反”的思维规律．

.【变式练习1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和CC1的中点．请画出平面DMN与平面BB1C1C及平面ABB1A1的交线．

.【解析】如图，平面DMN∩平面BB1C1C＝PN，平面DMN∩平面ABB1A1＝RM.

.共点、共线、共面问题【例2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．.【解析】(1)连结A1B、CD1.因为E是AB的中点，F是A1A的中点，则EF∥A1B.又在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故E、C、D1、F四点共面．.(2)由(1)知，EF∥D1C且EF＝D1C，故四边形ECD1F是梯形，两腰CE、D1F相交，设其交点为P，则P∈CE.又CE平面ABCD，所以P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线共点．.点评公理体系是整个立体几何的基础，是空间线面位置关系的支撑，是学生形成空间想象能力的基本依据．熟练掌握四个公理及其推论，是解决共点、共线、共面问题的关键．公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理；公理3及其推论(过直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线有且只有一个平面)是判断或证明点线共面的依据．...【例3】一个正方体的纸盒展开后如图．在原正方体的纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是________．空间两条直线的位置关系

.【解析】原正方体如图所示，AB可平行移动到CM位置，即AB∥CM.在正方形CEMF中，CM⊥EF，故AB⊥EF，①正确，②错误；同理，MN⊥CD，故④错误，只有①③正确．答案：①③

.点评本题考查学生的空间想象能力．解决问题的关键是将其还原成正方体，要注意字母的相应位置千万不能搞错．空间两条直线的位置关系有三种：平行、相交和异面．对于异面直线，考纲泛读也仅仅是了解而已，但也必须会判断，这对理解两条异面直线的垂直问题有很大帮助．.【变式练习3】如图是正方体的平面展开图，则这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM成60°角；③BE与CN是异面直线；④DM⊥BN.其中正确命题的序号为__________..【解析】将平面展开图还原成正方体，如图所示．观察图形知，①错，因为BM与ED垂直；②对．连结BE、EM.因为CN∥BE，故∠EBM是异面直线CN、BM所成的角．在正三角形EBM中，∠EBM＝60°，故CN与BM成60°角；③错，因为BE与CN是平行直线；④对，因为CN为BN在平面CDNM内的射影，且CN⊥DM，所以BN⊥DM.综上，正确命题的序号是②④....2.已知a、b、c是三条不同的直线，有下列四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b是异面直线，c与b是异面直线，则a与c是异面直线；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c；④若a∥c，a与b是异面直线，则b与c是异面直线．其中真命题为________.①.3.下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的一个图形是___________..【解析】正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为PS∥A1C1∥QR，所以P、Q、R、S共面，如下图(1)，排除①.如图(2)，(1)(2)(3).正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、BC的中点，则PEQFRS为正六边形，所以P、Q、R、S共面，排除②.如图(3)，因为PQ∥AB∥SR，所以P、Q、R、S共面，排除③.故选④..4.已知直线l与三条平行线a、b、c都相交．求证：l与a、b、c共面．.5.如图，在三棱锥A－BCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．...本节是立体几何的基础内容，四个公理及其推论是判断共线、共面的依据，也是将空间问题平面化的主要依据．(1)证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法．.(2)证明三线共点：可以证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线往往是两个平面的交线．