小数除法讲义

--五年级小数除法一、小数除以整数的计算方法：按照整数除法的方法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。例1、李师傅用17.5米布做了5套同样的服装，平均每套服装用布多少米？训练1、用竖式计算（并验算）38.4 4= 64.8 18=二．被除数的整数部分不够除的解决办法：如果小数的整数部分不够除，商0，点上小数点继续除。例2、一瓶果汁1.2升，正好倒满 6杯。每杯果汁多少升？训练2、用竖式计算（并验算）-----3.28 4= 7.37 67=三、除到被除数的末尾仍有余数的解决办法：如果除到被除数的末尾仍有余数，要在后面添0继续除。例3、一根彩带的长度是15.6米，奶奶把这根彩带平均剪成5小段，每小段的长度是多少米？训练3、用竖式计算（并验算）5.3 8= 12.45 6=四、一个数除以小数的计算方法：先去掉除数的小数点，看除数有几位小数，被除数的小数点就向右移动几位，然后按照除数是整数的计算法则计算。例4、国内长途话费每分钟0.55元，妈妈打一个国内长途电话一共用去5.17元，妈妈共打了几分钟的电话？-----训练4、用竖式计算（并验算）16.8 3.5= 3.434 0.85=例5、用竖式计算下面各题12.6 0.12= 10 0.64=训练5、计算并验算14.4 0.18= 4 0.25-----例6、在（）里填上“<”、“>”或“=”。并总结规律。0.7250.6（）0.72512.85（）12.84.251（）4.25总结：训练6、在（）里填上“<”、“>”或“=”。1.21.01（）1.22.041（）2.04420.7（）424.51.5（）4.53.081.1（）3.081.50.810.09（）0.8116.43.2（）6.40.32五、商的近似数：用“四舍五入”法取商的近似数——除到保留数位的下一位，这一位上的数字小于5，舍去；大于或等于5，向前一位进“1”。例7、妈妈在超市买了降价促销的袜子3双，共8.5元，一双袜子大约多少钱？（总价数量=单价）训练7、列竖式计算。（1）得数保留一位小数（2）得数精确到百分位（3）精确到0.012.53.55.247.23.817-----例8、求出下面各题的商。（结果保留两位小数）（观察余数求近似数的方法：除到要保留的数位，把余数和除数比较，余数大于或等于除数的一半，保留数位末位加1；余数小于除数的一半，舍去。）15.6 4.6 10 745.5 38训练8、列竖式计算。（结果保留两位小数）50 13 3.81 7 3.77 1.3206 62.5六、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字一次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环节：一个循环小数的小数部分，一次不断重复出现的数字，叫做这个小数的循环节。循环小数的简便记法：可以只写一个循环节，在这个循环节-----.的首位和末位个记上一个圆点。 例：5.333···可写作：5.3，. .7.145145 ···写作7.145例9、计算下面各题，哪些商是循环小数？循环小数指出循环节（有限小数和无限小数）5.7 9 5 8 119 111训练9、计算下面各题，商是循环小数的用简便方法表示出来。3.8 9 4.8 9 100 620.28 13例10、指出下列小数哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的叫纯循环小数。混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的叫混循环小数。...3.0535353···5.37.145....1.321.3012

.1.32. . . . .例11、把1.32、1.3232、1.32、1.323这四个数字按照从大到小的顺序排列起来。-----. . . . .训练11、把0.743、0.74、0.74、0.743这四个数按从小到大的顺序排列。例12、0.20314314···的小数部分第100个数字是多少？小数部分前100个数字的和是多少？. .训练12、（1）13.6258的小数部分第 872 位上的数字是几？小数部分前 872个数字之和是多少？2）13.258258···的小数部分第872位上的数字是几？小数部分前872个数字之和是多少？-----七、解决问题（1）有特殊数量关系的连除问题例13、4台电子计算机5秒可以完成1.7亿次计算，每台电子计算机每秒可以完成多少亿次计算？分析：关键理解题意：已知条件是什么？ 所求的问题是什么？解决问题：方法1： 方法2：训练13、一个运输队3辆汽车5天共节油40.5千克，平均每辆汽车每天节油多少千克？在解决实际问题时，求需要多少容器、布袋，车辆等物品的数量时，根据需要，求得的结果要用“进一法”取整数。如：例14、粮油店要把60千克的食物油装入最多能装油4.5千克的油桶里，至少要多少个油桶才能把这些油装完？-----训练14、一种炸药的安全距离是70米开外，在点燃炸药的导火索后王叔叔以8米每秒的速度跑开，已知导火索每秒燃烧的速度是0.3米每秒，那么导火索至少需要多少米才能确保安全？（得数保留一位小数）在解决实际问题时，计算的结果不一定都用“四舍五入”法，要根据实际需要取近似值。如包装纸、包装袋等，计算结果要用“去尾法”。如：例15、某印刷厂要将939张16开的白纸，装订成每本40张得记事本，这些白纸最多可以装订多少本这样的记事本？训练15、五（1）班班委会买来4跟长度均为10米的绳子，准备为同学们做跳绳，一根跳绳1.4米，最多能做几根跳绳？-----五年级简便计算练习：0.25×16.2×4 (1.25－0.125)×8 3.6×1023.72×3.5＋6.28×3.515.6×13.1－15.6－15.6×2.1 4.8×7.8＋78×0.524.8×100.156.5×9.9＋56.57.09×10.8－0.8×7.0918.76×9.9＋1.876-----320÷1.25÷83.52÷2.5÷0.45.6÷3.54.2÷3.59.6÷0.8÷0.4 17.8÷(1.78×4) 3.2×0.25×12.5 2.3×16+2.3×23+2.37.74×（2.8－1.3）＋1.5×2.260.8×（4.3×1.25）3.9÷（1.3×5）32.4×0.9＋0.1×32.415÷0.252.5×2.44.9÷1.4-----练习、1、填一填。（1）0.6里面有（）个十分之一，有（）0.01，有（）千分之一。（2）0.036去掉小数点后，这个数扩大到原来的（）倍。（3）两个数的商是0.81，除数缩小到原来的1，被除数不10变，商是（）。（4）1.9964保留一位小数约是（），精确到0.01约是（），精确到千分位是（）。（5）在取近似数时，遇到保留的小数位数的末尾是0时，这个0（）去掉，因为它即满足了题目的要求，有表示精确程度。（6）一个小数的小数点向右移动一位，所得的数比原来多24.66，原数是（）。2、解决问题。（1）某公司在电视台的黄金档插播一条15秒的宣传广告，每天播出一次，连续一周，共付人民币87.5万元，平均每秒约多少万元？（得数保留两位小数）（2）一个纺织厂有 48台织布机，3.5 小时共织布 974.4-----米。平均每台织布机每小时织布多少米？3）做一套儿童服装需用布2.2米，50米布可以做多少套这样的服装？4）一堆煤有27.4吨，用载重5吨的卡车运输，至少要运多少次才能运完？（5）一段高速公路长486千米。一辆客车4.5小时可行全程，一辆货车5.4小时可行完全程，货车的速度比客车的速度慢多少？（6）一种一次性纸杯最多能装 0.17 升饮料，现在有一桶重升的饮料，如果倒在这种纸杯里，需要多少个纸杯才能全部装完这桶饮料？-----（7）修路队修一条路，计划每天修3.2千米，45天修完，实际每天修3.6千米，比计划提前几天完工？8）一辆越野车在沙漠中行驶32.5千米耗油6.5升。①它要穿越总路程为1300千米的无人沙漠区，至少得准备多少升汽油？②走出无人沙漠区后，在120千米外的曙光村才有加油站，这时油箱里至少还有多少升汽油才能到达加油站？-----因数和倍数一、知识点讲解一）、因数与倍数的关系1、倍数与因数的意义：如果a×b=c（a,b,c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。注意：倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。不能说是谁是因数，谁是倍数。倍数因数只考虑正数。小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。例如：36的因数有（）。确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。如：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36因此36的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36。重复的和相同的只算一个因数。例如：7的倍数（ ）。确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如： 1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35⋯⋯还有很多。因此7的倍数有：7、14、21、28、35、42⋯⋯2、有前提条件的情况下确定倍数与因数例如：25以内5的倍数有（ 5、10、15、20、25 ）。特-----别注意前提条件是 25以内！例如：5、1、20、35、40、10、140、2以上各数中，是20的因数的数有（ ）；是20的倍数的数有（ ）；既是20的倍数又是20的因数的数有（ ）。首先我们应该明确 20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！3、关于倍数因数的一些概念性问题一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。3)1是任一自然数（ 0除外）的因数。也是任一自然数（ 0除外）的最小因数。一个数的因数最少有1个，这个数是1。除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数4、公倍数与公因数：如6和8的公因数有：1、2；6和8的公倍数有48、96⋯⋯。二）、2，3，5的倍数的特征1、 2、3、5的倍数特征-----个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。例如：202、480、304，都能被2整除。个位上是0或5的数，是5的倍数。例如：5、30、405都能被5整除。3)一个数各个数位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。例如： 12、108、204都能被3整除。个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。例如：80、20、70、130等。个位上是0且各位数字的和是3的倍数，那么这个数既是2的倍数又是3和5的倍数。例如：120、90等。2、自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。也就是说是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。（因此在自然数中，除了奇数就是偶数）注意：偶数＋偶数=偶数偶数－偶数=偶数偶数×偶数=偶数偶数＋奇数=奇数偶数－奇数=奇数偶数×奇数=偶数奇数＋奇数=偶数奇数－偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数－奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数3、一些特殊数的倍数的特征一个数各位数上的和能被9整除，这个数就是9的倍数。但是，能被3整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。-----一个数的末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数。例如：16、404、1256都是4的倍数。一个数的末两位数能被25整除，这个数就是25的倍数。例如：50、325、500、1675都是25的倍数。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就是8（或125）的倍数。例如：1168、4600、5000、12344都如果a和b都是c的倍数，那么a－b和a＋b一定也是c的倍数如果a是c的倍数，那么a乘以一个数（0除外）后的积也是c的倍数三）、质数和合数1、质数和合数的相关定义质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1个因数）。100百以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。共25个。6)质数×质数=合数 合数×合数=合数 质数×合数=合数2、分解质因数（分步相乘法、短除法）-----分解质因数：把一个合数分成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。分解质因数，应该从最小的质数开始试积，直到每个因数都是质数时为止。例如： 24=2×1224=3×82×6 因此24=2×2×2×32×42×32×2二、例题讲解一、倍数与因数的关系例1在18÷3=6中，()和()是()的因数。在3×9=27中，()是()和()的倍数。例2按要求写出50以内6和8的所有倍数6的倍数 8的倍数-----既是6的倍数也是 8的倍数例 3 判断：3 是因数，18 是倍数。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ）例4下列各式中，被除数是除数的倍数的是（ BD）对吗？A.22÷3=7.333⋯⋯B.0.60.2=3C.43÷5=8.6D.54÷9=6例5按要求写出100以内的数。4的倍数：8的倍数：12的倍数：二、2、3、5倍数的特征例1：下面哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？哪些数是3的倍数？哪些数既是2和5的倍数，又是3的倍数？3513024100332120601574521106679087628099的倍数：5的倍数:3的倍数:-----既是2和5的倍数，又是 3的倍数:偶数：奇数：例2判断：3个连续的自然数中，一定有两个数偶数。⋯⋯⋯⋯（ ）是奇数。所以3的倍数也是奇数。⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯（ ）一个数既是 3的倍数也是 2的倍数，则这个数一定是6的倍数。⋯⋯⋯⋯（ ）一 个 数 的 因 数 一 定 比 这 个 数小。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ）例3用0,5,6 组成的三位数中，是2的倍数的数有哪几个？是5的倍数的数有哪几个？既是 2又是5的倍数的数有哪几个？例4既是3的倍数又是奇数的最大两位数是（ ），最小两位数是（ ）。例5奶奶买了14个苹果，小明想平均分给三个人，他至少要吃掉几个才能正好分完？例6 18的因数有（ ）个，倍数有（ ）个。-----A.4 B.5 C.6 D.无数例75□□0是有两个相同数字的四位数，它同时是2,3和5的倍数。这个四位数最大是多少？最小是多少？例8一些珍珠分给几个小朋友，每人分3颗多3颗，每人分5颗少5颗。一共有多少个小朋友？一共有多少颗珍珠？三、质数与合数1既不是质数，也不是合数。最小的质数是 2，最小的合数是4。例1找出42的全部因数。其中是质数的是？合数的是？例2找1-100的自然数中哪些数是质数？-----例3下面各数中哪些是质数？哪些是合数？132227174157612353768797334777991183605质数：合数：例4两个质数的和是12，积是35，这两个质数分别是多少？例5从下面的数字中任取两个，按要求组成两位数。 （各写个）7 5 3 2 0质数：合数：奇数：偶数：三、课堂练习（一）1、填空题1)自然数中，（）的数叫做偶数，（）的数叫做奇数。2)个位上是（）或（）的数，是5的倍数。-----既是2的倍数又是5的倍数的数的特征是（）。4)6既是（）的倍数，又是（）的倍数，还是（）的倍数。5)奇数与偶数的和是（）数；奇数与奇数的和是（）数；偶数与偶数的和是（）数。6)87是一个（）数，还是一个（）数。一个两位数，它既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是（ ）。8)在自然数范围内，最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。2、判断（对的打“√”，错的打“×”）1)在自然数中，除了奇数就是偶数。（）2)个位上是3、6、9的数就是3的倍数。（）1是质数。 （ ）2既是偶数，又是质数。 （ ）所有的质数都是奇数。（）6)10是倍数，5是因数。（）7)自然数a的最大因数是a，最小倍数也是a。（）一个自然数不是质数就是合数。 （ ）-----3、选择1)下面数中，( )既是2的倍数，又是 5的倍数。A.24 B.30 C.45（）的最小倍数是1。A.3B.0C.13)最小的质数与最小的合数的和是（）A.6B.5C.34)下面数中，()既是2的倍数，又是3的倍数。A.27B.36C.19两个质数的和是12，积是35，这两个质数是（）A.3和8B.2和9C.5和76)1、3、5都是15的（）A.质因数B.公因数C.因数7)一个合数至少有（）个因数。A.1B.2C.34、分类。456778342324151287685908949793197877737012355以上数中，偶数有（ ）奇数有（ ）质数有（ ）合数有（ ） 2的倍数有（ ）5的倍数有-----（ ）3的倍数有（ ）。5、在□里填一个数字，使每个数都是 3的倍数。□5，□里可以填（ ）;3□7，□里可以填（ ）;□78，□里可以填（ ）14□3，□里可以填（ ）;60□1，□里可以填（ ）。6、五·一班部分同学参加植树活动，已经来了37人，5个人分成一组，至少还要来几个人，才能正好分完？7、小洪买了以下几本书，故事书10元一本，科技书8元一本，作文书7元一本。给售货员50元，找回22元，对不对？为什么？（二）一、填空。（33%）-----（1）6×4=24，6和4是24的（ ），24是6的（ ），也是 4的（ ）。（2）24的因数有（ ）。（3）下面的数中，把质数划去，留下合数。2 9 23 27 28 29 3135 37 39 51（4）一个数，既是 12的倍数，又是 12的因数，这个数是（ ）。（5）两个都是质数的连续自然数是（ ）和（ ）。6）在15、18、29、35、39、41、47、58、70、这些数中：①是偶数的有（ ）； ②是奇数的有（ ）；③有因数3的是（ ）； ④5的倍数有（ ）。（7）最小的自然数是（ ），最小的质数是（ ）最小的合数是（ ）。二、选择题。将正确答案的序号填在题中的括号里 。（8%）1）一个数是3的倍数，这个数各位上数的和（）。①大于 3 ②等于 3 ③是 3 的倍数④小于3（2）一个合数至少有（ ）。-----①一个因数 ②二个因数 ③三个因数④四个因数（3）87是（ ）；41是（ ）。①合数 ②质数 ③因数④倍数（4）既不是质数又不是合数的是（ ）。①1 ②2 ③3 ④4（5）42÷3＝14，我们可以说（ ）。①42是倍数 ②3是因数 ③42是3的倍数 ④42是3的因数（6）两个奇数的和（ ）。①一定是奇数②一定是偶数③可能是奇数也可能是偶数④一定是质数（7）几个质数之积一定是（）。①奇数②偶数③合数④质数（8）5和7都是35的（）。①奇数②偶数③因数④倍数三、生活中的数（16分）1、501班上体育课，有34人参加跳绳活动，要分成5人一组，至少还要再来几个人？可以分成几组？-----2、食品店运来75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？3、晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了 5下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了 50下呢？四、课堂小结五、课后作业一、判断题( )1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。-----( )2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。( )3、个位上是 0的数都是2和5的倍数。( )4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。( )5、5是因数，10是倍数。( )6、36的全部因数是 2、3、4、6、9、12和18，共有7个。( )7、因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。( )9、任何一个自然数最少有两个因数。( )10、一个数如果是 24的倍数，则这个数一定是 4和8的倍数。()11、15的倍数有15、30、45。()12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。()13、两个素数相乘的积还是素数。()14、一个合数至少得有三个因数。()15、在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数。()16、15的因数有3和5。()17、1是16的因数，16是16的倍数。()18、8的因数只有2，4。()19、任何数都没有最大的倍数。二、填空。-----1、在50以内的自然数中，最大的素数是（），最小的合数是（）。2、既是素数又是奇数的最小的一位数是（）。3、在20以内的素数中，（）加上2还是素数。4、如果有两个素数的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或（）＋（）。5、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）。6、一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（）。7、一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）。8、如果a的最大因数是 17，b的最小倍数是 1，则a+b的和的所有因数有（ ）个；a-b 的差的所有因数有（ ）个；a×b的积的所有因数有（ ）个。9、比6小的自然数中，其中2是()的因数，又是()的倍数。10、个位上是()的数，都能被2整除；个位上是()的数，都能被5整除。11、在自然数中，最小的奇数是()，最小的偶数是()，最小的素数是()，最小的合数是()。12、素数只有()个因数，它们分别是()和()。13、一个合数至少有()个因数，()既不是素数，也不是合数。14、自然数中，既是素数又是偶数的是()。15、48的最小倍数是（），最大因数是（）。最小因数是（）。-----16、用5、6、7这三个数字，组成是 5的倍数的三位数是（ ）；组成一个是 3 的倍数的最小三位数是（ ）。17、一个自然数的最大因数是 24，这个数是（ ）。18、在27、68、44、72、587、602、431、800中。（共4分）奇数是： 偶数是：19、在2、3、45、10、22、17、51、91、93、97中。（共5分）素数是： 合数是：20、按要求做。（ 6~7题共12分）从0、3、5、7、这4个数中，选出三个组成三位数。（1）组成的数是2的倍数有：（2）组成的数是 5的倍数有： 。（3）组成的数是 3的倍数有：21、偶数+偶数= 奇数+奇数= 偶数+奇数=22、幼儿园的大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友。按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友。三、选择题1、15的最大因数是（），最小倍数是（）。①1②3③5④152、在14＝2×7中，2和7都是14的（）。①素数②因数③质因数-----3、一个数，它既是 12的倍数，又是 12的因数，这个数是（ ）。①6 ②12 ③24 ④1444、一筐苹果， 2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（ ）。①120个②90个③60个④30个5、自然数中,凡是17的倍数（）。①都是偶数②有偶数有奇数③都是奇数6、下面的数，因数个数最多的是（）。A18B36C407、两个素数的和是（ ）。A偶数B奇数C奇数或偶数8、自然数按是不是2的倍数来分，可以分为（）。A奇数和偶数B素数和合数C素数、合数、0和19、1是（）。A素数B合数C奇数D偶数10、甲数×3=乙数，乙数是甲数的（）。A倍数B因数C自然数11、同时是2、3、5的倍数的数是（）。A18B120C75D810四、应用题。-----1、一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少?2、幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了 32颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？最大公因数与最小公倍数例1、（1）求12和18的最大公因数；6（2）求10、16和24的最小公倍数；2403）有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段长多少厘米？一共可以截成多少段？分析：∵要截成相等的小段，且无剩余，-----∴每段长度必是 120、180、300的公约数。练习1、加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可加工3个，第二道工序每个工人每小时可加工5个，第三道工序每个工人每小时可加工 10个。要使流水线正常生产，各道工序安排几个工人最合理？分析：要使流水线正常生产，不浪费人力和时间，加工零件的个数应是3、5、10的最小公倍数。最大共因数的求法 （辗转相除法）例1.一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米，要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。问：这样的正方形的边长是多少厘米？辗转相除法的介绍：辗转相除法，又叫欧几里得算法，是求两个正整数的最大公因数的算法，是已知最古老的算法，可追溯至3000年前，首次出现于欧几里得（几何学的奠基人）的《几何原本》，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。分析：由题意可知，正方形的边长即是 2703 和1113 的最大公约数。我们可以用上面复习的短除法来求得这俩个数的最大公约数，可是很麻烦。那遇到类似此题情况，两个数除了1以外的公约数一下不好找到，但又不能轻易断定它们是互质的，怎么办？在此，我们以例1为例，介绍一种新的求最大公约数的方法。对于例1，可做如下图解：-----1111113151515399911131113477477

1594474472703从图中可知：在长2703厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113厘米）为边长的正方形2个，在裁后剩下的长1113厘米，宽477厘米的长方形中，再裁去以宽（477厘米）为边长的正方形2个，然后又在裁剩下的长方形（长477厘米，宽159厘米）中，以159厘米为边长裁正方形，恰好裁成3个，且无剩余，因此可知，159厘米是477厘米、1113 厘米和2703 厘米的约数。所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米。所以，159是2703和1113的最大公约数。把图解过程转化为计算过程，即：2703÷1113=2 ⋯⋯4771113÷477=2⋯⋯159477÷159=3当余数为0时，最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最大公约数。解：∵2703=2×1113+4771113=2×477+159477=3×159∴（2703，1113）=159答：这样的正方形的边长是 159厘米。练习1、求1008、1260、882三个数的最大公因数是多少？126例2、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？解：设要求的数为 x，则有：4︳x28y7∴x=4×y，28=4×7-----28x=4×y×4×7又∵4是x和28的最大公约数，（y，7）=1，y×4×7是x和28的最小公倍数。x×28=4×252x=4×252÷28=36∴要求的数是 36.通过例2的解答过程，不难发现：如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的关系是：a，b）×[a,b]=a×b这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化为先求两个数的最大公约数，再用两个数的乘积除以最大公因数，其结果就是这两个数的最小公倍数。练习2、求62和93的最小公倍数。 186方法总结：求 2个自然数的最大公因数的方法：、观察比较法、短除法、辗转相除法。求2个自然数的最小公倍数的方法：1、短除法2、利用两个自然数的最大公因数与最小公倍数的关系：（a，b）×[a,b]=a×b先求两个自然数的最大公因数，再用两个自然数的乘积除以最大公因数。特别地，对于求2个以上自然数的最大公因数与最小公倍数，上面的方法依然适用。具体可以先求其中任意两个的数的最大公因数 （最小公倍数），再求这个公因数（公倍数）与另外一个数的最大公因数（最小公倍数） ，这样求下去，直至求得最后结果。三、实际应用：例3、用某数去除600余5，去除818余13，去除871余求某数最大是多少？分析：根据已知条件可知：只要把 600减去5,818 减去13,871增加4后，这三个数都能被某数整除。再根据题中要求某数最大是多少，显然就是求（600-5）、（818-13）和（871+4）这三个数的最大公因数。-----练习3、有一个自然数，去除81余1，去除61也余1，求这个自然数最大是多少？例4、有一袋水果糖，4块4块地数多3块；6块6块地数多5块；15块15块地数多14块。这袋糖在150至200块之间，问到底有多少块？分析：由已知条件可知：这一袋糖只要增加 1块，就正好是4、6、15的公倍数。也就是说，这袋糖的块数比 4、6、15的公倍数少1.那么就可以先求出4、6、15的最小公倍数，然后再根据“这袋糖在150到200块之间”这一条件找出它的块数。练习 4、五（1）班有五十多位同学去大扫除，平均分成 4组多2人；平均分成 5组多3人。请你算一算，五1）班有多少位同学？58人。例5、把450个苹果和250个橘子平均分配在若干只水果篮里，水果篮的只数在30~50之间。分到最后苹果余30个，橘子少2个。问有多少只水果篮？分析：根据条件可知，水果篮里需要放苹果450-30=420个，橘子250+2=252个。由于水果篮里的各种水果要分别相同，所以，篮子的只数应是420和252的公因数。先求出420和252的最大公因数为84，但篮子数没有84只，而是在30到50之间，这就是说篮子的只数应是84的约数。将84的约数尽数写出，可以发现，只有42符合条件。-----练习5、把150块糖和80块巧克力平均分给幼儿园的小朋友，他们的人数在 35~40 之间。分到最后糖多 6块，巧克力多 8块。问有多少个小朋友？有36个小朋友。习题1、一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在把它裁成一些大小相等且尽可能大的正方形而无剩余，且边长是整厘米数，可以裁多少块？分析：题中单位不统一，需要先把单位统一，因为题中要求裁后无剩余，且裁成的正方形要最大，所以，正方形的边长必须是75和60的最大公因数。求出了正方形的边长，就不难求可以裁多少块了。可以裁20块。习题2、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？-----倍数问题一、知识要点倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。二、精讲精练【例题1】两根同样长的铁丝，第一根剪去 18厘米，第二根剪去 26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的 3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？练习1：两个数的和是682.其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少米？-----一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来两筐水果一共有多少个？【例题2】甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？【思路导航】甲组的图书是乙组的 3倍，若乙组拿出 6本，甲组相应的也拿出6×3=18本，则甲组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应着后来乙组的（5－3）倍。因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12本，乙组原来有12＋6=18本，甲组原来有18×3=54本。练习2：原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有多少本书？-----3.幼儿园买来的苹果的个数是梨的 3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的 5倍。原来买来苹果和梨共多少个？【例题3】幼儿园买来苹果的个数是梨的 2倍。大班的同学每 7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下 16个。大班共有多少个同学？【思路导航】因为苹果是梨的 2倍，每组分 3个梨和3×2=6个苹果最后就一起分完。可每组分 4个苹果，少分 6－4=2个，所以有 8组同学，全班有 7×8=56 人。练习3：高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。两种树苗原来各有多少棵？2.高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。两种树原来各的多少棵？-----同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老人拿2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。同学们把水果分给了几位老人？【例题4】有两筐桔子，如果从甲筐拿出 8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多； 如果从乙筐拿出 13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的 2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？【思路导航】根据“从甲筐拿出 8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多 8×2=16个橘子；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多16＋13×2=42个。因此，乙筐里还有42÷（2－1）=42个，原来乙筐里有42＋13=55个，甲筐里原来有55＋16=71个。练习4：甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨？兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元；弟弟买了3支笔，每支笔1.2元，现在弟弟的钱是哥哥的3倍。兄弟两人原来各有多少元？-----3.学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；如果参加的男生名额给4个女生，则男生是女生人数的一半。原定夏令营中男、女生各多少人？【例题5】甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙粮库原来各有粮食多少吨？2倍，如果【思路导航】因为甲粮库的存粮是乙粮库的每天乙粮库运30吨，甲粮库运出30×2=60吨，两粮库的粮食就会同时运完。而实际上甲粮库每天只运出40吨，所以，每天就少运60－40=20吨。80吨里包含有4个20吨，也就是已经运了4天，因此，甲粮库原有粮食40×4＋80=240吨，乙粮库原有240÷2=120吨。练习5：果园里桃树的棵数是梨树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒24棵桃树和10棵梨树，几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩下24棵。果园里有桃树和梨树各多少棵？小朋友带着一篮桔子和苹果送给敬老院的老人们，每个老人分各3个苹果和5个桔子，最后苹果分完，篮子里还剩下7个桔子。如果原来桔子的个数是苹果的 2倍，那么，分给了几个老人？原来有多少个苹果？-----甲、乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元钱时，两人余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存有多少钱？【例题6】，养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡只数就是公鸡的4倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡？6倍，如【思路导航】养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的果公鸡增加60只，母鸡增加60×6=360只，那么，后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。可实际母鸡只增加了60只，比360只少300只。因此，现在母鸡只数只有公鸡的4倍，少了2倍。所以，现在公鸡的只数是300÷2=150只，原来有公鸡150－60=90只，一共养了90×（1＋6）=630只鸡。练习6：1.今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明