充分条件与必要条件同步练习（含答案）2

充要条件1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)(2)若peq\o(⇒,/)q和qeq\o(⇒,/)p有一个成立，则p一定不是q的充要条件.(√)(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．(√)题型1充要条件的判断2．“b2＝ac”是“eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)成立”的(C)A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：b2＝aceq\o(⇒,/)eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)，如b＝0，c＝0时，b2＝ac，而eq\f(a,b)，eq\f(b,c)无意义．但eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)⇒b2＝ac，所以“b2＝ac”是“eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)”的必要不充分条件．3．“a＋b<0”是“a<0，b<0”的(C)A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：当a与b异号且负数绝对值大时，也有a＋b<0，所以“a＋b<0”eq\o(⇒,/)“a<0，b<0”；显然“a<0，b<0”⇒“a＋b<0”，所以“a＋b<0”是“a<0，b<0”的必要不充分条件．4．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(B)A．x<0，y<0 B．x<0，y>0C．x>0，y>0 D．x>0，y<0解析：第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0.5．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac2＝bc2”的充要条件；②“b－2是无理数”是“b是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的序号是__②④__.解析：①中由“a＝b”可得ac2＝bc2，但由“ac2＝bc2”得不到“a＝b”，所以不是充要条件，所以①是假命题；②是真命题；③中a>b时，a2>b2不一定成立，所以③是假命题；④中由“a<5”得不到“a<3”，但由“a<3”可以得出“a<5”，所以“a<5”是“a<3”的必要条件，所以④是真命题．题型2充要条件的证明6．已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．证明：①充分性：因为a＋b＝1，所以b＝1－a，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.②必要性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，所以(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，所以(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，所以a2－ab＋b2≠0.所以a＋b－1＝0，所以a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．7．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：①充分性：如果xy＝0，那么x＝0，y≠0或x≠0，y＝0或x＝0，y＝0，则|x＋y|＝|x|＋|y|显然成立．如果xy>0，则x>0，y>0或x<0，y<0，当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|；当x<0，y<0时，|x＋y|＝－x－y＝(－x)＋(－y)＝|x|＋|y|.总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．题型3由充分、必要、充要条件求参数范围8．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(A)A．m>－1，n<5 B．m<－1，n<5C．m>－1，n>5 D．m<－1，n>5解析：由题意知P(2,3)∈A且P(2,3)∉B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3＋m>0，,2＋3－n>0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－1，,n<5.))故选A.9．已知p：m－1<x<m＋1，q：2<x<6，q是p的必要条件，但q不是p的充分条件，则实数m的取值范围为(B)A．3<m<5 B．3≤m≤5C．m<3或m>5 D．m≤3或m≥5解析：因为q是p的必要不充分条件，所以由p能得到q，而由q得不到p，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥2，,m＋1≤6，))所以3≤m≤5.所以实数m的取值范围是3≤m≤5.10．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．解：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋kx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x2＋xx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x3＝0，,x2＋x＋k＝0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,k＝－2.))所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝－2.易错点1混淆必要不充分、充要条件的含义11．一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(D)A．m>0，n>0 B．mn<0C．m<0，n<0 D．mn>0解析：一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、二、四象限，所以－eq\f(m,n)<0，且eq\f(1,n)>0，解得m>0，n>0.故由一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn>0.而由mn>0不一定能得到一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象经过第一、二、四象限，所以mn>0是一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件．[误区警示]本题易因混淆必要不充分条件与充要条件，直接由－eq\f(m,n)<0，且eq\f(1,n)>0，解得m>0，n>0，而错选的必要不充分条件是q，即q是p的必要不充分条件，则qeq\o(⇒,/)p，且p⇒q，故本题应题干⇒选项，且选项eq\o(⇒,/)题干．易错点2弄反充分、必要条件12．使不等式2x－4≥0成立一个充分不必要条件是(C)A．x<2 B．x≤0或x≥2C．x∈{2,3,5} D．x≥2解析：由2x－4≥0得x≥2，所以选项中只有{2,3,5}{x|x≥2}，故只有C选项中的条件是使不等式2x－4≥0成立的一个充分不必要条件．[误区警示]本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥2}{x|x≥2或x≤0}，误选B.事实上，“不等式2x－4≥0成立”为结论q，我们只需找到条件p，使p⇒q且qeq\o(⇒,/)p即可．在解答问题时务必看清设问方式，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分、必要、充要条件的概念做出准确的判断．(限时30分钟)一、选择题1．已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的(D)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0，比如当a<b<0时，ab(a－b)<0；反之，若ab(a－b)>0，则a－b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b<a<0时也满足ab(a－b)>0，故不能确定a和b的正负．故“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的既不充分也不必要条件．2．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为NM，所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．3．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为“a≠1或b≠2”包括三种情况，即a≠1，b＝2，或a＝1，b≠2，或a≠1且b≠2，所以a≠1或b≠2eq\o(⇒,/)a＋b≠3，a＋b≠3⇒a≠1或b≠2，所以“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件．4．若实数x，y∈R，则甲：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>4，,xy>4))是乙：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,y>2))的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1))时，甲成立，但乙不成立，所以充分性不成立；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,y>2))时，显然eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>4，,xy>4))成立，所以必要性成立．故选B.5．x2<4的一个必要不充分条件是(C)A．0<x≤2 B．－2<x<0C．－2≤x≤2 D．1<x<3解析：由x2<4得－2<x<2，因为－2<x<2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2<x<2，所以x2<4的一个必要不充分条件是－2≤x≤2.6．设a是实数，则a<5成立的一个必要不充分条件是(A)A．a<6 B．a<4C．a2<25 D．eq\f(1,a)>eq\f(1,5)解析：因为a<5⇒a<6，a<6eq\o(⇒,/)a<5，所以a<6是a<5成立的一个必要不充分条件．故选A.7．(多选题)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(BD)解析：由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD.8．已知p：x>1或x<－3，q：x>a.若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(A)A．{a|a≥1} B．{a|a≤1}C．{a|a≥－3} D．{a|a≤－3}解析：因为p：x>1或x<－3，q：x>a，且q是p的充分不必要条件，所以{x|x>a}是{x|x>1或x<－3}的真子集，即a≥1.故选A.9．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(D)①A∪B＝A；②(∁UA)∩B＝∅；③∁UA⊆∁UB；④A∪(∁UB)＝U.A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：画出Venn图可知，B⊆A⇔A∪B＝A；B⊆A⇔(∁UA)∩B＝∅；B⊆A⇔∁UA⊆∁UB；B⊆A⇔A∪(∁UB)＝U.故选D.10．(多选题)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是(ABD)A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件解析：A项，Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，故A正确；B项，Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，故B正确；C项，Δ＝b2－4ac>0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，故C错误；D项，Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根，故D正确．二、填空题11．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__3或4__.解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有实根⇔(－4)2－4n≥0⇔n≤4.又n∈N*，则n＝4时，方程x2－4x＋4＝0有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0有整数根1,3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0无整数根．所以n＝3或n＝4.12．已知p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__{m|m>2}__．解析：因为q是p的必要不充分条件，所以p⇒q，qeq\o(⇒,/)p，所以{x|－1<x<3}{x|－1<x<m＋1}，所以m＋1>3，解得m>2.13．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是__m＝0__.解析：当m＝0时，原方程即为x＝2，符合题意；当m≠0时，有eq\f(m＋1,m2)＝2，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2)，但Δ＝(m＋1)2－8m2＝－7m2＋2m＋1，当m＝1及m＝－eq\f(1,2)时，均使Δ<0，故此时不符合题意．故充要条件是m＝0.三、