高中数学导数的应用 （新人教A选修22）

导数的应用.知识与技能1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；2．利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。过程与方法1.通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；2.通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。情感态度、价值观逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯.一、知识点1．导数应用的知识网络结构图.重点导析一、曲线的切线及函数的单调性

为减函数。1.设函数在某个区间内可导，若，则在该区间上是增函数；若，则.2.求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(2)求导数(3)解不等式;或解不等式.(1)求的定义域D(4)与定义域求交集(5)写出单调区间.题型一：利用导数求切线斜率、瞬时速度

解法提示：在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.例1求垂直于直线，且与曲线相切的直线方程..题型二：求函数的单调区间.

分析：确定函数的单调区间,即在其定义域区间内确定其导数为正值与负值的区间.例2试确定函数的单调区间..二、可导函数的极值

1.极值的概念：设函数在点附近有定义，且对附近的所有的点都有（或则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点。.①求导数②求方程＝０的根；2.求可导函数极值的步骤：③检验在方程＝０如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数的根的左、右的符号，在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极大值..题型三：求函数的极值与最值分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步骤来求.但要注意极值点与导数之间的关系（极值点为的根）.例3设函数在或处有极值且.求并求其极值..三、函数的最大值与最小值

1.设是定义在区间[a，b]上的函数，在（a，b）内有导数，求函数在[a，b]上的最大值与最小值，可分两步进行：①求在（a，b）内的极值；②将在各极值点的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.若函数在[a，b]上单调递增，则为函数的的最小值，为函数的最大值；若函数在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，最小值.为函数的.例４函数在[0，3]上的最值.５-155y＋0－Y’3(2,3)2(0,2)0X.题型四：利用求导解应用题

例1如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时，乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时间甲、乙相距最近？BA乙甲如图.例2:如图,铁路线上AB段长100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?BDAC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为.令,在的范围内有唯一解x=15.所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离不超过15千米时,所选D点与B点重合.练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3时,圆柱体的体积最大.2.与数学中其它分支的结合与应用..例3:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3..类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,则令,解得,从而,即h=2r.由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省..xy例4:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0<x<2),则A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以当时,因此当点B为时,矩形的最大面积是.例5:证明不等式:证:设则令,结合x>0得x=1.而0<x<1时,;x>1时,,所以x=1是f(x)的极小值点.所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:

成立..例6:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.解:(1)由题意得:(2),解得x>0或x<-2.故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞).即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0..例7.2001—新课程卷—文史类(21):已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.注:此题为p.252课后强化训练第8题.解:由已知得:由得;由得故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1/3)和(1,+∞),单调递减区间是(-1/3,1)..练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2.(1)试确定常数a、b的值;(2)求函数的单调递增区间.答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)..练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都取得极值.(1)求a、b的值;(2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2.练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上的值域.答:由已知得可求得c=0,b=-3,从而f(x)=x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x)在[-1,4]上的值域是[-4,