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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.棱长为2的正方体内有一个内切球,过正方体中两条异面直线,的中点作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为()A. B. C. D.12.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.如图,正方体中,,,,分别为棱、、、的中点,则下列各直线中,不与平面平行的是()A.直线 B.直线 C.直线 D.直线4.已知不重合的平面和直线,则“”的充分不必要条件是()A.内有无数条直线与平行 B.且C.且 D.内的任何直线都与平行5.函数的图象大致为()A. B.C. D.6.已知,则下列关系正确的是()A. B. C. D.7.设为虚数单位,为复数,若为实数,则()A. B. C. D.8.复数的共轭复数为()A. B. C. D.9.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是()A.B.C.D.10.一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里11.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸12.函数在上单调递减的充要条件是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为、,点P是第一象限内双曲线上的点,且,tan∠PF2F1=﹣2,则双曲线的离心率为_____.14.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上,则实数的值为________.15.如图,在棱长为2的正方体中,点、分别是棱,的中点,是侧面正方形内一点(含边界),若平面,则线段长度的取值范围是______.16.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知两数.(1)当时,求函数的极值点;(2)当时,若恒成立,求的最大值.18.(12分)己知点,分别是椭圆的上顶点和左焦点,若与圆相切于点,且点是线段靠近点的三等分点.求椭圆的标准方程;直线与椭圆只有一个公共点,且点在第二象限,过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于,两点,求面积的取值范围.19.(12分)已知椭圆,上、下顶点分别是、,上、下焦点分别是、,焦距为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆上异于、的动点,过作与轴平行的直线,直线与交于点,直线与直线交于点,判断是否为定值,说明理由.20.(12分)已知矩形中,,E,F分别为,的中点.沿将矩形折起,使,如图所示.设P、Q分别为线段,的中点,连接.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.22.(10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).(1)当m=7时,求函数f(x)的定义域;(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

连结并延长PO,交对棱C1D1于R,则R为对棱的中点,取MN的中点H,则OH⊥MN,推导出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长.【详解】如图,MN为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO,交对棱C1D1于R,则R为对棱的中点,取MN的中点H,则OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故选:C.【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.2.C【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长,进而求得离心率.【详解】将,代入方程得,而双曲线的半实轴,所以,得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念,属于基础题.3.C【解析】

充分利用正方体的几何特征,利用线面平行的判定定理,根据判断A的正误.根据,判断B的正误.根据与相交,判断C的正误.根据,判断D的正误.【详解】在正方体中,因为,所以平面,故A正确.因为,所以,所以平面故B正确.因为,所以平面,故D正确.因为与相交,所以与平面相交,故C错误.故选:C【点睛】本题主要考查正方体的几何特征,线面平行的判定定理,还考查了推理论证的能力,属中档题.4.B【解析】

根据充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】A.内有无数条直线与平行,则相交或,排除;B.且,故,当,不能得到且,满足;C.且,,则相交或,排除;D.内的任何直线都与平行,故,若,则内的任何直线都与平行,充要条件,排除.故选:.【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的综合应用能力.5.A【解析】

根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,,,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.6.A【解析】

首先判断和1的大小关系,再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.【详解】因为,,,所以,综上可得.故选:A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.7.B【解析】

可设,将化简,得到,由复数为实数,可得,解方程即可求解【详解】设,则.由题意有,所以.故选:B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算,由复数的类型求解对应参数,属于基础题8.D【解析】

直接相乘,得,由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵∴其共轭复数为.故选:D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.9.D【解析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥,表面积为,故选D.10.A【解析】

先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角,再结合AB可求,应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故选:A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用,关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系,利用正余弦定理求解.属于中档题.11.B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.12.C【解析】

先求导函数,函数在上单调递减则恒成立,对导函数不等式换元成二次函数,结合二次函数的性质和图象,列不等式组求解可得.【详解】依题意,,令,则,故在上恒成立;结合图象可知,,解得故.故选:C.【点睛】本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或),利用基本三角函数的单调性列不等式求解;(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

根据正弦定理得,根据余弦定理得2PF1•PF2cos∠F1PF23,联立方程得到,计算得到答案.【详解】∵△PF1F2中,sin∠PF1F2═,sin∠PF1F2═,∴由正弦定理得,①又∵,tan∠PF2F1=﹣2,∴tan∠F1PF2=﹣tan(∠PF2F1+∠PF1F2),可得cos∠F1PF2,△PF1F2中用余弦定理,得2PF1•PF2cos∠F1PF23,②①②联解,得,可得,∴双曲线的,结合,得离心率.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.14.【解析】

求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标,并将该交点代入抛物线的方程,即可求出实数的方程.【详解】双曲线的半焦距为,则双曲线的右准线方程为,渐近线方程为,所以,该双曲线右准线与渐近线的交点为.由题意得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数,涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用,考查计算能力,属于中等题.15.【解析】

取中点,连结,,推导出平面平面,从而点在线段上运动,作于,由,能求出线段长度的取值范围.【详解】取中点,连结,,在棱长为2的正方体中,点、分别是棱、的中点,,,,,平面平面,是侧面正方形内一点(含边界),平面,点在线段上运动,在等腰△中,,,作于,由等面积法解得:,,线段长度的取值范围是,.故答案为:,.【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.16.20+45,8【解析】试题分析:由题意得,该几何体为三棱柱,故其表面积S=2×1体积V=12×4×2×2=8,故填:20+4考点:1.三视图;2.空间几何体的表面积与体积.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)唯一的极大值点1,无极小值点.(2)1【解析】

(1)求出导函数,求得的解,确定此解两侧导数值的正负,确定极值点;(2)问题可变形为恒成立,由导数求出函数的最小值,时,无最小值,因此只有,从而得出的不等关系,得出所求最大值.【详解】解:(1)定义域为,当时,,令得,当所以在上单调递增,在上单调递减,所以有唯一的极大值点,无极小值点.(2)当时,.若恒成立,则恒成立,所以恒成立,令,则,由题意,函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以所以,所以,故的最大值为1.【点睛】本题考查用导数求函数极值,研究不等式恒成立问题.在求极值时,由确定的不一定是极值点,还需满足在两侧的符号相反.不等式恒成立深深转化为求函数的最值,这里分离参数法起关键作用.18.;.【解析】

连接,由三角形相似得,,进而得出,,写出椭圆的标准方程;由得,,因为直线与椭圆相切于点,,解得,,因为点在第二象限,所以,,所以,设直线与垂直交于点,则是点到直线的距离,设直线的方程为,则,求出面积的取值范围.【详解】解:连接,由可得,,,椭圆的标准方程;由得,,因为直线与椭圆相切于点,所以,即,解得,,即点的坐标为,因为点在第二象限,所以,,所以,所以点的坐标为,设直线与垂直交于点,则是点到直线的距离,设直线的方程为,则,当且仅当,即时,有最大值,所以,即面积的取值范围为.【点睛】本题考查直线和椭圆位置关系的应用,利用基本不等式,属于难题.19.(1);(2),理由见解析.【解析】

(1)求出椭圆的上、下焦点坐标,利用椭圆的定义求得的值,进而可求得的值,由此可得出椭圆的方程;(2)设点的坐标为,求出直线的方程,求出点的坐标,由此计算出直线和的斜率,可计算出的值,进而可求得的值,即可得出结论.【详解】(1)由题意可知,椭圆的上焦点为、,由椭圆的定义可得,可得,,因此,所求椭圆的方程为;(2)设点的坐标为,则,得,直线的斜率为,所以,直线的方程为,联立,解得,即点,直线的斜率为,直线的斜率为,所以,,,因此,.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中定值问题的求解,考查计算能力,属于中等题.20.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)取中点R,连接,,可知中,且,由Q是中点,可得则有且,即四边形是平行四边形,则有,即证得平面.(2)建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量:,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值.【详解】(1)取中点R,连接,,则在中,,且,又Q是中点,所以,而且,所以,所以四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)在平面内作交于点G,以E为原点,,,分别为x,y,x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标为,,,所以,,设平面的一个法向量为,则即,取,得,

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