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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若变量,满足,则的最大值为()A.3 B.2 C. D.102.已知函数,,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.3.已知数列对任意的有成立,若,则等于()A. B. C. D.4.已知的内角的对边分别是且,若为最大边,则的取值范围是()A. B. C. D.5.已知向量,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件6.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为A.48 B.72 C.90 D.967.函数满足对任意都有成立,且函数的图象关于点对称,,则的值为()A.0 B.2 C.4 D.18.在条件下,目标函数的最大值为40,则的最小值是()A. B. C. D.29.已知,且,则的值为()A. B. C. D.10.设,,是非零向量.若,则()A. B. C. D.11.已知圆:,圆:,点、分别是圆、圆上的动点,为轴上的动点,则的最大值是()A. B.9 C.7 D.12.已知函数的一条切线为,则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,角的对边分别为,且,若外接圆的半径为,则面积的最大值是______.14.如图,、分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点,若,,则双曲线的离心率是______.15.双曲线的焦点坐标是_______________,渐近线方程是_______________.16.已知复数(为虚数单位),则的共轭复数是_____,_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)若,且,求证:.18.(12分)百年大计,教育为本.某校积极响应教育部号召,不断加大拔尖人才的培养力度,为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数,表示被清华、北大等名校录取的学生人数)年份(届)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通过画散点图发现与之间具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;(保留两位有效数字)(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人,预测2019年高考该校考人名校的人数;(3)若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传,在选取的5个人中再选取2人进行演讲,求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.参考公式:,参考数据:,,,19.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.(1)求实数的值及函数的单调区间;(2)设函数,证明时,.21.(12分)已知椭圆与抛物线有共同的焦点,且离心率为,设分别是为椭圆的上下顶点(1)求椭圆的方程;(2)过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点,当弦的中点落在四边形内(含边界)时,求直线的斜率的取值范围.22.(10分)如图,在三棱锥中,,,侧面为等边三角形,侧棱.(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥外接球的体积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】解:画出满足条件的平面区域,如图示:如图点坐标分别为,目标函数的几何意义为,可行域内点与坐标原点的距离的平方,由图可知到原点的距离最大,故.故选:D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,属于中档题.2.B【解析】
可判断函数在上单调递增,且,所以.【详解】在上单调递增,且,所以.故选:B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定,指数函数与对数函数的性质,利用单调性比大小等知识,考查了学生的运算求解能力.3.B【解析】
观察已知条件,对进行化简,运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知,则,所以有,,,,两边同时相加得,又因为,所以.故选:【点睛】本题考查了求数列某一项的值,运用了累加法和裂项法,遇到形如时就可以采用裂项法进行求和,需要掌握数列中的方法,并能熟练运用对应方法求解.4.C【解析】
由,化简得到的值,根据余弦定理和基本不等式,即可求解.【详解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因为为三角形的最大角,所以,又由余弦定理,当且仅当时,等号成立,所以,即,又由,所以的取值范围是.故选:C.【点睛】本题主要考查了代数式的化简,余弦定理,以及基本不等式的综合应用,试题难度较大,属于中档试题,着重考查了推理与运算能力.5.A【解析】
向量,,,则,即,或者-1,判断出即可.【详解】解:向量,,,则,即,或者-1,所以是或者的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量平行的坐标表示,属于基础题.6.D【解析】因甲不参加生物竞赛,则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时,共有•=72种选择方案;②当甲学生不参加任何比赛时,共有=24种选择方案.综上所述,所有参赛方案有72+24=96种故答案为:96点睛:本题以选择学生参加比赛为载体,考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识,属于基础题.7.C【解析】
根据函数的图象关于点对称可得为奇函数,结合可得是周期为4的周期函数,利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称,所以的图象关于原点对称,所以为上的奇函数.由可得,故,故是周期为4的周期函数.因为,所以.因为,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函数满足,那么是周期为的周期函数,本题属于中档题.8.B【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最值点,再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示,画出可行域和目标函数,根据图像知:当时,有最大值为,即,故..当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.9.A【解析】
由及得到、,进一步得到,再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为,所以,又,所以,,所以.故选:A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.10.D【解析】试题分析:由题意得:若,则;若,则由可知,,故也成立,故选D.考点:平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.11.B【解析】试题分析:圆的圆心,半径为,圆的圆心,半径是.要使最大,需最大,且最小,最大值为的最小值为,故最大值是;关于轴的对称点,,故的最大值为,故选B.考点:圆与圆的位置关系及其判定.【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径,要使最大,需最大,且最小,最大值为的最小值为,故最大值是,再利用对称性,求出所求式子的最大值.12.A【解析】
求导得到,根据切线方程得到,故,设,求导得到函数在上单调递减,在上单调递增,故,计算得到答案.【详解】,则,取,,故,.故,故,.设,,取,解得.故函数在上单调递减,在上单调递增,故.故选:.【点睛】本题考查函数的切线问题,利用导数求最值,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式,结合范围可求的值,利用正弦定理可求的值,进而根据余弦定理,基本不等式可求的最大值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解:,由正弦定理可得:,,,又,,,即,可得:,外接圆的半径为,,解得,由余弦定理,可得,又,(当且仅当时取等号),即最大值为4,面积的最大值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.14.【解析】
根据三角形中位线证得,结合判断出垂直平分,由此求得的值,结合求得的值.【详解】∵,∴为中点,,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案为:【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.15.【解析】
通过双曲线的标准方程,求解,,即可得到所求的结果.【详解】由双曲线,可得,,则,所以双曲线的焦点坐标是,渐近线方程为:.故答案为:;.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用,考查了运算能力,属于容易题.16.【解析】
直接利用复数的乘法运算化简,从而得到复数的共轭复数和的模.【详解】,则复数的共轭复数为,且.故答案为:;.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础的计算题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)极大值为:,无极小值;(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可求出函数的极值;(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明,即证,令,根据函数的单调性证明即可.【详解】(Ⅰ)的定义域为且令,得;令,得在上单调递增,在上单调递减函数的极大值为,无极小值(Ⅱ),,即由(Ⅰ)知在上单调递增,在上单调递减且,则要证,即证,即证,即证即证由于,即,即证令则恒成立在递增在恒成立【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,考查不等式的证明,考查运算求解能力及化归与转化思想,关键是能够构造出合适的函数,将问题转化为函数最值的求解问题,属于难题.18.(1);(2)117人;(3)分布列见解析,【解析】
(1)首先求得和,再代入公式即可列方程,由此求得关于的线性回归方程;(2)根据回归直线方程计算公式,计算可得人数;(3)和被选中的人数分别为2和3,利用超几何分布分布列的计算公式,计算出的分布列,并求得数学期望.【详解】(1)由题,所以线性回归方程为(若第一问求出.)(2)当时,所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人(3)由题知和被选中的人数分别为2和3,进行演讲的两人是2018年毕业的人数的所有可能取值为0,1,2,,的分布列为012【点睛】本小题主要考查平均数有关计算,考查回归直线方程的计算,考查期望的计算,考查超几何分布和数据处理能力,属于中档题.19.(1)见证明;(2)【解析】
(1)设是的中点,连接、,先证明是平行四边形,再证明平面,即(2)以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建空间直角坐标系,分别计算各个点坐标,计算平面法向量,利用向量的夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明:设是的中点,连接、,是的中点,,,,,,,是平行四边形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,过点作,垂足为,平面,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,则,,,,设是平面的一个法向量,则,,令,则,,,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直,线线垂直,利用空间直角坐标系解决线面夹角问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.(1);函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)详见解析.【解析】
试题分析:(1)由题得,根据曲线在点处的切线方程,列出方程组,求得的值,得到的解析式,即可求解函数的单调区间;(2)由(1)得根据由,整理得,设,转化为函数的最值,即可作出证明.试题解析:(1)由题得,函数的定义域为,,因为曲线在点处的切线方程为,所以解得.令,得,当时,,在区间内单调递减;当时,,在区间内单调递增.所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由(1)得,.由,得,即.要证,需证,即证,设,则要证,等价于证:.令,则,∴在区间内单调递增,,即,故.21.(1)(2)或【解析】
(1)由已知条件得到方程组,解得即可;(2)由题意得直线的斜率存在,设直线方程为,联立直线与椭圆方程,
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