2021-2022年高中数学第四章圆的方程1.2圆的一般方程4作业含解析新人教版必修2202202261103

PAGEPAGE6圆的一般方程A组基础巩固1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为()A．(1，－1)B．(eq\f(1,2)，－1)C．(－1,2)D．(－eq\f(1,2)，－1)解析：将圆的方程化为标准方程，得(x＋eq\f(1,2))2＋(y＋1)2＝eq\f(45,4)，所以圆心为(－eq\f(1,2)，－1)．答案：D 2．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2xD．y2＝－2x解析：由题意知，圆心(1,0)到P点的距离为eq\r(2)，所以点P在以(1,0)为圆心，以eq\r(2)为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.答案：B3．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别是2和3的圆的方程为()A．x2＋y2－2x－3y＝0B．x2＋y2＋2x－3y＝0C．x2＋y2－2x＋3y＝0D．x2＋y2＋2x＋3y＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A，B两点坐标代入四个选项，只有A完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2D＋F＝－4，,3E＋F＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－3，,F＝0，))故方程为x2＋y2－2x－3y＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB所对的圆心角为90°，知线段AB为圆的直径，即所求的圆是以AB中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))为圆心，eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(\r(13),2)为半径的圆，其方程为(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))2，化为一般式得x2＋y2－2x－3y＝0.答案：A4．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()A．30B．18C．6eq\r(2)D．5eq\r(2)解析：圆心为(2,2)，则圆心到直线距离为d＝eq\f(|2＋2－14|,\r(2))＝5eq\r(2)，R＝3eq\r(2).∴圆上点到直线的距离最大值为d＋R＝8eq\r(2)，最小值为d－R＝2eq\r(2).∴(d＋R)－(d－R)＝8eq\r(2)－2eq\r(2)＝6eq\r(2).答案：C5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(\r(2),2)，则a的值为()A．－2或2B.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0D．－2或0解析：由圆心(1,2)到直线的距离公式得eq\f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)得a＝0或a＝2.故选C.答案：C6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：设点P的坐标为(x，y)，由|PA|＝2|PB|得(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，即(x－2)2＋y2＝4.故点P的轨迹所围成的图形的面积S＝4π.答案：B7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为__________．解析：本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即eq\f(1,2)eq\r(k2＋22－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(4－3k2)＝1，所以k＝0，所以圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________解析：由题意可得圆C的圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))在直线x－y＋2＝0上，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))代入直线方程得－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋2＝0，解得a＝－2.答案：－29．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋eq\f(1,2)m2＝0所确定的圆中，最大面积是__________．解析：所给圆的半径长为r＝eq\f(\r(1＋m－12－2m2),2)＝eq\f(1,2)eq\r(－m＋12＋3).所以当m＝－1时，半径r取最大值eq\f(\r(3),2)，此时最大面积是eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)10．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq\r(2)，求圆的一般方程．解析：圆心C(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2.①又∵半径长r＝eq\f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq\r(2)，∴D2＋E2＝20.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又∵圆心在第二象限，∴－eq\f(D,2)＜0即D＞0.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.))故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.B组能力提升11．若圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a的取值范围为A．(－∞，2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：本题考查圆的性质．由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＜0,2a＞0,|－a|＞2,|2a|＞2))，解得a＞2，故选D.答案：D12．若圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有相异的两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则直线PQ的斜率kPQ＝__________.解析：本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系．由题意知圆心(－1,3)在直线kx＋2y－4＝0上，所以k＝2，即直线kx＋2y－4＝0的斜率为－eq\f(k,2)＝－1，又直线PQ与直线kx＋2y－4＝0垂直，所以kPQ＝1.答案：113．已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为AB的中点，所以x＝eq\f(x0＋8,2)，y＝eq\f(y0＋6,2).于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程：(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＝4.∴(2x－8＋1)＋(2y－6)2＝4，整理得，(x－eq\f(7,2))2＋(y－3)2＝1.∴点P的轨迹是以(eq\f(7,2)，3)为圆心，1为半径的圆．14．已知以点C(t，eq\f(2,t))(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．求证：△OAB的面积为定值．解析：由于圆C过原点，故可设圆C的方程为x2＋y2＋D