2022年山东省烟台市莱州程郭镇曲家中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年山东省烟台市莱州程郭镇曲家中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量=（1，﹣2），=（1，1），=+，=﹣λ，如果⊥，那么实数λ=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由平面向量坐标运算法则先分别求出，再由⊥，能求出实数λ．【解答】解：∵量=（1，﹣2），=（1，1），∴=+=（2，﹣1），=﹣λ=（1﹣λ，﹣2﹣λ），∵⊥，∴=2（1﹣λ）+（﹣1）（﹣2﹣λ）=0，解得实数λ=4．故选：A．2.已知a是函数f(x)=2x-logx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足（

）

A.f(x0)=0

B.f(x0)<0

Cf(x0)>0

D.f(x0)的符号不确定参考答案：B3.设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为A．1

B．

C.2

D．参考答案：D4.若，则不等式的解集为

（

）A． B．

C. D．参考答案：C略5.已知命题p：x<1，，则为(A)x≥1, (B)x<1,(C)x<1, (D)x≥1,参考答案：C6.已知A，B，P是双曲线上不同的三点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且是关于x的方程的两个实数根，若，则双曲线C的离心率是（

）A.2 B. C. D.参考答案：B【分析】设P，A点坐标，确定B点坐标，利用韦达定理有，利用斜率公式及P,A在双曲线上建立方程组，即可得出结果.【详解】设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以点的坐标为，因为，所以，即，又，在双曲线:上，所以，，两式相减得，即，又因为，所以，所以，所以，，选B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列方程消元得到a,b,c的关系式是关键，考查运算求解能力，属于中档题.7.已知集合

A．0或

B．0或3

C．1或

D．1或3参考答案：B略8.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.9.若，，则 （

） A． B．

C．

D．参考答案：D略10.已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2

参考答案：D考点:平行向量与共线向量．专题:平面向量及应用．分析:利用向量共线定理即可得出．解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故选：D．点评:本题考查了向量共线定理，属于基础题．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线：（为给定的正常数，为参数，）构成的集合为S,给出下列命题：

①当时，中直线的斜率为；②中所有直线均经过一个定点；③当时，存在某个定点，该定点到中的所有直线的距离均相等；④当＞时，中的两条平行直线间的距离的最小值为；⑤中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是

（写出所有正确命题的编号）．参考答案：③④略12.由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有______个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有______个．参考答案：

60

36【分析】对于第一空：分2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有3种情况，②在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：按个位数字分3种情况讨论，分别求出每种情况下的三位数的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，对于第一空：分2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数，其个位是2、4或6，有3种情况，②在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，有种情况，则有3×20=60个符合题意的三位偶数；对于第二空：分3种情况讨论：①，当其个位为2时，十位数字只能是1，百位数字有4种情况，此时有4个符合题意的三位数；②，当其个位为4时，十位数字可以是1、2、3，百位数字有4种情况，此时有3×4=12个符合题意的三位数；③，当其个位为6时，十位数字可以是1、2、3、4、5，百位数字有4种情况，此时有5×4=20个符合题意的三位数；则有4+12+20=36个符合题意的三位数；故答案为：60，36．13.已知两个不相等的平面向量，（）满足||=2，且与﹣的夹角为120°，则||的最大值是．参考答案：考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：如图所示：设=，=，则=，∠BAO=60°，∠BAC=120°，且OB=2，0°＜∠B＜120°．△AOB中，由正弦定理求得||=sin∠B，由此可得||的最大值．解答：解：如图所示：设=，=，则=，∠BAO=60°，∠BAC=120°，且OB=2，0°＜∠B＜120°．△AOB中，由正弦定理可得=，即，解得||=sin∠B．由于当∠B=90°时，sin∠B最大为1，故||的最大值是，故答案为．点评：本题主要考查求向量的模的方法，正弦定理，以及正弦函数的值域，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．14.已知函数，若，则实数a的取值范围是

。参考答案：15.函数f（x）=sin（x+）+asin（x﹣）的一条对称轴方程为x=，则a=_________．参考答案：16.设等比数列满足，，则________．参考答案：为等比数列，设公比为．，即，显然，，得，即，代入式可得，．

17.某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为

．参考答案：6【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】由频率分布直方图，先求出a=0.040．再求出第3组、第4组和第5组的人数，由此能求出利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数．【解答】解：由频率分布直方图，得：（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.040．第3组的人数为0.060×5×50=15，第4组的人数为0.040×5×50=10，第5组的人数为0.020×5×50=5，所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，第4组应抽取×12=4人，第5组应抽取×12=2人．则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为6．故答案为：6．【点评】本题考查分层抽样方法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数是奇函数。（1）求的值；（2）请讨论它的单调性，并给予证明。参考答案：（1）是奇函数，；即，解得：，其中（舍）；经验证当时，确是奇函数。（2）先研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1<x2，则得>0，即在（0，1）内单调递减；由于是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数在（－1，0）内单调递减。19.已知函数f（x）=cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B=30°，c=，f（C）=1，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积．参考答案：【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性即可得出；（2）利用三角函数的单调性与周期性可得C，利用直角三角形的边角公式即可得出．【解答】解：（1）==，∵x∈R，∴，∴f（x）的最小值是﹣1，∴，故其最小正周期是π（2）∵f（C）=1，∴，又∵0＜2C＜2π，∴，∴，∴，∵B=，∴A=，∴△ABC是直角三角形．∴=2，∴b=1，设三角形ABC的面积为S，∴S===．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性、直角三角形的边角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（本题满分12分）已知函数，（1）若函数在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围.参考答案：∵∴

∴，

（1）∵函数在处的切线方程为∴

解得：.

（2）

的定义域为＞

∵在其定义域内单调递增∴＞0在恒成立

∵＞0（＞0）即令，则

，

因为，

当且仅当即时取到等号.

所以

所以

略21.通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意单位：名

男女总计满意503080不满意102030总计6050110

（1）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？（2）从（1）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率.参考答案：解：（1）根据分层抽样可得：样本中满意的女游客有名，样本中不满意的女游客有名.（2）记样本中对景区的服务满意的3名女游客为，对景区的服务不满意的2名女游客为，从这5名女游客中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：；；；；；；；；；.其中事件“选到满意与不满意的女游客各一名”包含了6个基本事件：；；；；；.所以所求的概率为.

22.已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求a的取值范围.参考答案：（1）（2）试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数