2022年北京侯黄庄中学高三数学理联考试题含解析

2022年北京侯黄庄中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)＝，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )A、（－∞，0]

B、（－∞，1]

C、[－2，1]

D、[－2，0]参考答案：D2.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（

）盏灯.A.24

B.48

C.12

D.60参考答案：A由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为,则,解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3?23=24.故选A.3.下列命题，正确的是（

）A.命题:，使得的否定是：，均有.B.命题：若,则的否命题是：若，则.C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.D.命题：，则的逆否命题是真命题.参考答案：B略4.已知x=log52，y=ln2，z=，则下列结论正确的是（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵x=log52＜=，1＞y=ln2=，z=＞1，∴x＜y＜z．故选：A．5.已知全集U={0，1，2，3，4），集合A={1，2，3），B={2，4}，则为A.{1,2,4)

B.{2,3,4)

C.{0,2,4)

D.{0,2,3,4)参考答案：C6.复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限 参考答案：A7.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A.若，则B.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C.若，则D.若，则参考答案：D8.在正三棱柱中，已知，，则异面直线和所成角的余弦值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是(

)A．96

B．16

C．24

D．48

参考答案：D略10.函数的零点所在的区间为(

)

(A)(0，1)(B)(1，2)

(C)(2，3)

(D)(3，4)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______．]参考答案：略12.若向量的夹角为，，则

参考答案：713.已知函数f（x）=loga（x2﹣ax+2）在（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为．参考答案：1＜a≤3【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】先讨论外层函数的单调性，发现外层函数只能为增函数，即a＞1，再将问题转化为内层函数为增函数且内层函数大于零恒成立问题，列不等式组即可得a的取值范围【解答】解：若0＜a＜1，y=logat在（0，+∞）上为减函数，则函数t=x2﹣ax+2在（2，+∞）上为减函数，这是不可能的，故a＞1a＞1时，y=logat在（0，+∞）上为增函数，则函数t=x2﹣ax+2在（2，+∞）上为增函数，且t＞0在（2，+∞）上恒成立只需，解得a≤3∴1＜a≤3故答案为1＜a≤3【点评】本题主要考查了复合函数单调性的判断方法和应用，对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，分类讨论的思想方法14.如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你能得到服装鞋帽和百货日杂共售出元．参考答案：29000【考点】绘制统筹图的方法．

【专题】函数的性质及应用．【分析】利用统计图，求出副食品的比例，然后求解服装鞋帽和百货日杂共售出的金额．【解答】解：由题意可知：副食品的比例：10%．一天营业额为：5800元．服装鞋帽和百货日杂共售出：5×5800=29000元．故答案为：29000【点评】本题考查统计图的应用，考查计算能力．15.若数列中的最大项是第项，则=___________参考答案：4

本题主要考查了数列的通项及不等式组的求解，计算量比较大，难度中等。由于数列{n（n+4）（）n}中的最大值是第k项，则有，那么，整理得，可得，解得≤k≤+1，由于k∈N，则取k=4，故填4；16.一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个，利用列举法能求出至少取到1个白球的概率．【解答】解：记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个的基本事件有10个，分别为：（A，B1），（A，B2），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B2，C1），（B2，C2），（C1，C2），其中至少取到1个白球的基本事件有7个，故至少取到1个白球的概率为：p=．故答案为：．17.函数f（x）=sin2x﹣2sin2x的最大值为

．参考答案：2﹣

【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变形公式，函数f（x）=2sin（2x+）﹣．【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣2×=sin2x+=2sin（2x+）﹣．故答案为：2﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)．设bn＝.(1)求数列{bn}的通项公式bn；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn，并由此证明：≤Sn＜.参考答案：解：(1)由已知，可得＝，即＝＋n＋，即－＝n＋，即bn＋1－bn＝n＋.∴b2－b1＝1＋，b3－b2＝2＋，…，bn－bn－1＝(n－1)＋.累加，得bn－b1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋＝＋＝，又b1＝＝＝1，∴bn＝＋1＝.(2)由(1)，知：an＝＝，∴an＋1＝，cn＝＝·＝＝，∴Sn＝＋＝·＋＝.∵n＋1·＝n＋1递减，∴0＜n＋1·≤1＋1·＝，∴≤＜，即≤Sn＜.略19.平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求.参考答案：（1）将，代入直线方程得，由可得，曲线的直角坐标方程为.（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，又直线过点，∴直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程可得，设点对应的参数分别为.由一元二次方程的根与系数的关系知，，∴.20.已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，可得ρ=±4，即可求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2﹣y2=8，直线（t为参数），代入整理可得t2+4﹣8=0，利用弦长公式求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，可得ρ=±4，∴A、B两点的极坐标分别为（4，），（4，﹣）；（Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2﹣y2=8，直线（t为参数），代入整理可得t2+4﹣8=0，∴|MN|==4．21.（本小题12分）六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰）,若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考试是否合格互不影响。①求某个学生不被淘汰的概率。②求6名学生至多有两名被淘汰的概率③假设某学生不放弃每一次考核的机会，用表示其参加补考的次数，求随机变量的分布列和数学期望。参考答案：1）正面：

①两个项目都不补考能通过概率：

②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：③两个项目都要补考才能通过的概率：反面（间接法）被淘汰的概率：2）3)012P22.已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AB=2，BC=1，AD=4，侧棱AA1=4．（1）若E是AA1上一点，试确定E点位置使EB∥平面A1CD；（2）在（1）的条件下，求平面BED与平面ABD所成角的余弦值．参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）当E为AA1四等分点时，即A1E=AA1时，EB∥平面A1CD．建立空间直角坐标系，确定E点坐标，即可得出结论；（2）求出平面BED法向量、平面ABCD法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED与平面ABD所成角的余弦值．解答： 解：（1）当E为AA1四等分点时，即A1E=AA1时，EB∥平面A1CD．证明：以AB为x轴，以AD为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，因此A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），C（2，1，0），A1（0，0，4），设E（0，0，z），则=（﹣2，0，z），=（﹣2，﹣1，4），=（﹣2，3，0）．∵EB∥平面A1CD，不妨设=x+y，∴（﹣2，0，z）=x（﹣2，﹣1，4）+y（﹣2，3，0）．∴解得z=