2021-2022学年辽宁省丹东市东港第四中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年辽宁省丹东市东港第四中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面上直线l的方向向量=，点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是O1和A1，若，则λ=

（

）

A．

B．－

C．2

D．－2参考答案：D2.过双曲线x2﹣y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（）A．28 B．14﹣8 C．14+8 D．8参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程得a=b=2，c=4．由双曲线的定义，证出|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8=PQ|+8，结合|PQ|=7即可算出△PF2Q的周长．【解答】解：∵双曲线方程为x2﹣y2=8，∴a=b=2，c=4，根据双曲线的定义，得|PF2|﹣|PF1|=4，|QF2|﹣|QF1|=4，∴|PF2|=|PF1|+4，|QF2|=（|QF1|+4），相加可得|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8，∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7，∴|PF2|+|QF2|=7+8，因此△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=7+8+7=14+8，故选：C3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. B.C. D.参考答案：C四棱锥的表面积为4.对任意（

）；

A.；

B.；

C.（-1,5）；

D.（-5,1）参考答案：B5.若函数y＝log2(x2－2x－3)的定义域、值域分别是M、N，则（

）A．[－1,3]

B．(－1,3)

C．(0,3]

D．[3,＋∞)参考答案：A略6.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则=(

)A.

8

B.

4

C.

2

D.

1参考答案：C略7.已知全集，A={3,4,5}，，则A.{5,6} B.{3,4} C.{2,3} D.{2,3,4,5}参考答案：B8.已知,，，若，则的值为

（

）A．

B．4C．

D．2参考答案：D9.若命题p:?x0>0,|x0|≤1,则命题p的否定是 A.?x>0,|x|>1 B.?x>0,|x|≥1C.?x≤0,|x|<1 D.?x≤0,|x|≤1参考答案：A 本题主要考查特称命题的否定.对全称命题与特称命题进行否定时,要从两个方面进行:一是对量词进行改写,二是对命题的结论进行否定,二者缺一不可. 根据特称命题的否定是全称命题,易得?p:?x>0,|x|>1.故选A. 10.如果，那么的值是 A．—1 B．0 C．3 D．1参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为

参考答案：或略12.已知圆和两点，若点在圆上且，则满足条件的点有

个.参考答案：13.已知向量，，若，则实数___;参考答案：14.如图：两圆相交于点、，直线与分别与两圆交于点、和、，，则

.参考答案：3由题设得，，，.15.等差数列{an}中，a2=3，S5=25则公差d=

▲

．参考答案：2

略16.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为

．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）参考答案：24【考点】EF：程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．17.已知单位向量的夹角为30°，则

．参考答案：1

16.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知F（1，0），过点A（﹣1，t）作y轴的垂线，与线段AF的垂直平方分线交于点M，点M的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）自直线y=2x+3上的动点N作曲线E的两条切线，两切点分别为P，Q，求证：直线PQ经过定点．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（I）由中垂线的性质可知MF=MA，故而E为以F为焦点的抛物线；（II）设N（x0，y0），过N点的直线方程为x=m（y﹣y0）+x0，联立抛物线方程，令△=0得出切点P，Q坐标及m1，m2的关系，代入两点式方程化简即可得出直线PQ的定点坐标．【解答】解：（I）∵M在AF的中垂线上，∴|MA|=|MF|，∵M在直线y=t上，∴|MA|等于M到直线x=﹣1的距离．∴M的轨迹为以点F（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线．∴曲线E的方程为y2=4x．（II）设N（x0，y0），过N的切线方程为x=m（y﹣y0）+x0，联立方程组，得y2﹣4my+4my0﹣4x0=0．∵直线与抛物线相切，∴△=16m2﹣16my0+16x0=0，即m2﹣my0+x0=0．∴m1+m2=y0，m1?m2=x0．∴方程组的解为y=2m，x=m2．设P（m12，2m1），Q（m22，2m2）．则直线PQ的方程为：=，∴（m1+m2）（y﹣2m1）﹣2（x﹣m12）=0．即（m1+m2）y﹣2m1m2﹣2x=0．∴y0y﹣2x0﹣2x=0．∵N（x0，y0）在直线y=2x+3上，∴y0=2x0+3．∴直线PQ方程为2x0y+3y﹣2x0﹣2x=0．∴当y=1时，x=．∴直线PQ过定点（，1）．19.已知函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex+ax．（1）若a＜0．（i）试探讨函数f（x）的单调性；（ii）若函数f（x）和g（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；（2）设函数h（x）=x2﹣f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，），求证：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）（i）求出函数f（x）的导数，判断导函数的符号，求出f（x）的单调区间即可；（ii）根据f（x）的单调性求出g（x）的单调性，问题转化为a＜﹣ex在（0，ln3）恒成立，求出a的范围即可；（2）由h（x）=x2﹣ax+lnx，求出h（x）的导数（x＞0），故x1x2=，由x1∈（0，），知x2∈（1，+∞），且ax1=2x12+1，由此能够证明h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2【解答】解：（1）（i）a＜0时，f′（x）=a﹣＜0，故f（x）在（0，+∞）递减；（ii）由（i）f（x）在（0，ln3）递减，故g（x）在（0，ln3）递减，故g′（x）=ex+a＜0在（0，ln3）恒成立，故a＜﹣ex在（0，ln3）恒成立，故a＜﹣3；（2）h（x）=x2﹣ax+lnx，∴h′（x）=，（x＞0）∴x1x2=，∵x1∈（0，），∴x2∈（1，+∞），且ax1=2x12+1，（i=1，2），∴h（x1）﹣h（x2）=（x12﹣ax1+lnx1）﹣（x22﹣ax2+lnx2）=（﹣x12﹣1+lnx1）﹣（﹣x22﹣1+lnx2）=x22﹣x12+ln=x22﹣﹣ln2x22，（x2＞1），设u（x）=x2﹣﹣ln2x2，x≥1，则u′（x）=≥0，∴u（x）＞u（1）=﹣ln2．即h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．20.设函数的图像的一条对称轴是直线。（1）求；（2）求函数的单调递增区间；（3）证明：直线与函数的图像不相切。参考答案：（1）

（2）（3）利用导函数值小于等于2证明。21.已知在递增等差数列中，，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，求的值.参考答案：（Ⅰ）由为等差数列，设公差为，则.∵是和的等比中项，∴，即，解之，得（舍），或.∴.（Ⅱ）..22.（本小题满分14分）已知平行四边形，，，，为的中点，把三角形沿折起至位置，使得，是线段的中点．（1）求证：；（2）求证：面面；（3）求二面角的正切值．参考答案：（1）见解析；(2)见解析；（3）【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．G4G5G7解析：(1)证明：取的中点，连接,为中点，且,为平行四边形边的中点，且，且四边形是平行四边形,平面，平面平面………4分（3）

取的中点，连接，，，为的中点为等边三角形，即折叠后也为等边三角形，且在中，，，根据余弦定理，可得在中，，，，，即又，所以又面面………