2021-2022学年湖北省黄石市孝感中学高三数学文联考试卷含解析

2021-2022学年湖北省黄石市孝感中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有………………..（

） A．280种 B．240种 C．180种 D．96种参考答案：B2.下列各函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋

B．y＝sinx＋，x∈(0，)C．y＝

D．y＝x＋－1参考答案：D略3.上的奇函数满足，当时，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝A.－4 B.－3 C.－2 D.－1

参考答案：B本题考查平面向量的数量积。由题意得：，即，解得；选B。

5.已知函数的定义域为，则是为奇函数的（

）条件A．充分不必要

B．必要不充分

C．充分必要

D．既不充分也不必要参考答案：B6.如图，角的顶点为原点O，始边为y轴的非负半轴、终边经过点P（-3，-4）．角的顶点在原点O，始边为x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且，则的值为

（

） A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.若方程的根在区间上，则的值为（

）A．

B．1

C．或2

D．或1参考答案：D8.以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（

）

A．

B.

C.

D.

参考答案：B右焦点即圆心为，渐近线方程，为半径，选B9.设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则等于（

） A．6

B．8

C．9

D．10参考答案：B由题意可知抛物线的准线方程为,如图,由抛物线的性质得，而，所以,选B.10.已知实数x，y满足，则z=3x+4y-2的最大值为(

)A．8

B．6

C．5

D．1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面向量的单位向量是

.参考答案：12.（坐标系与参数方程选做题）已知直线（

为参数）的公共点个数为

个参考答案：013.函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是．参考答案：（0，]【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】首先判断函数f（x）在R上单调递减，再分别考虑各段的单调性及分界点，得到0＜a＜1①a﹣3＜0②a0≥（a﹣3）×0+4a③，求出它们的交集即可．【解答】解：[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则函数f（x）在R上递减，当x＜0时，y=ax，则0＜a＜1①当x≥0时，y=（a﹣3）x+4a，则a﹣3＜0②又a0≥（a﹣3）×0+4a③则由①②③，解得0＜a≤．故答案为：（0，]．【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及应用，注意分界点的情况，考查运算能力，属于中档题和易错题．14.已知B为锐角，，则cosB=_________.参考答案：略15.函数的定义域是(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：C略16.已知函数,若,则.参考答案：或因为，所以，即，所以，即，解得或。17.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层

参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）DE为△ABC的中位线，从而得到DE∥BC，然后根据线面平行的判定定理及性质定理即可得到DE∥MN，从而BC∥MN，即MN∥BC；（Ⅱ）过B作BZ∥PA，容易说明BC，BA，BZ三条直线互相垂直，从而以B为原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，这样即可求得的坐标．从而可求出平面PBC的一个法向量坐标，设直线AC与平面PBC所成角为α，根据sinα=即可求出α；（Ⅲ）根据图形设M（0，y，z），由M点在棱BP上，便可得到，从而表示M为M（0，2λ，2λ），根据直线EM与直线AP所成角的余弦值，设直线EM与直线AP所成角为θ，从而通过cosθ=即可求出λ，从而求出M点坐标，由两点间距离公式即可求出MC．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC?平面PBC，DE?平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC=MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面PAB内作BZ∥PA，则根据：PA⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1=1，得x1=0，y1=﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα==；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）=λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ=；∴8λ2﹣18λ+9=0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．19.已知函数.（1）当时，求f(x)的极值；（2）当时，讨论f(x)的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）【详解】试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.试题解析：（1）当时，由,解得.∴f(x)在上是减函数，在上是增函数.∴f(x)的极小值为，无极大值.（2）.①当时，f(x)在和上是减函数，在上是增函数；②当时，f(x)在上是减函数；③当时，f(x)在和上是减函数，在上是增函数.（3）当时，由（2）可知f(x)在上是减函数，∴.由对任意的恒成立，∴即对任意恒成立，即对任意恒成立，由于当时，，∴.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.20.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．

参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD另解：在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，从而BC⊥平面ACD（Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则，，，设为面CDM的法向量，则即，解得令x=﹣1，可得又为面ACD的一个法向量∴∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．21.（本小题满分13分）

已知直线y=－x+m与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若向量·=0（其中0为坐标原点），求m的值．

参考答案：

略22.(本小题满分12分)已知数列，前项和，且方程有一根为（＝1，2，3……）（Ⅰ）求的值（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并给出严格证明。（Ⅲ）设数列的前项和，试比较与的大小参考答案：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．……3分

当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．……

5分

(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，