高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系单元测试 省赛获奖

空间几何--平行垂直专题复习直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂αl⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝aβ∩γ＝b，∴a∥b考向一直线与平面平行的判定与性质【例1】►(2023·天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.【训练1】如图，若已知四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.[一题多变][典型母题](2023·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C(1)证明AD1∥平面BDC1.(2)证明BD∥平面AB1D1.，[题点发散1]将本例条件“D1，D分别为AC，A1C1上的中点”变为“D1，D分别为AC，A1C1[题点发散2]将本例条件“D，D1分别为AC，A1C1上的中点”变为“D，D1分别为AC，A1C1上的点且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求eq\f(AD,DC)的值．[类题通法]证明直线与平面平行，一般有以下几种方法(1)若用定义直接判定，一般用反证法；(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平【例题2】如图，在四棱锥P­ABCD中，CD∥AB，DC＝eq\f(1,2)AB，若PM＝MB，求证：CM∥平面PAD.1.(1)(2023·秦皇岛模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.(2)(2023·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB①求证：AB1∥平面BC1D；②若BC＝3，求三棱锥D­BC1C3.(2023·山东改编)如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.4.(2023·福建改编)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(2)求三棱锥D—PBC的体积．考向二平面与平面平行的判定与性质1．平面与平面平行的判定定理自然语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．简称：线面平行，则面面平行．符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β.[提醒](1)如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行，则这两个平面相交或平行．(2)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平行”问题．2．平面与平面平行的性质定理自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．简称：面面平行，则线线平行．符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.[提醒]平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．【例2】►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P求证：平面MNP∥平面A1C1B【训练】1.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.2.(2023·高考陕西卷)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)证明：底面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD­A1B1D1的体积.eq\a\vs4\al(考点三)__平行关系的综合应用________________(2023·河南洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【强化训练】1.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，M是PB的中点．(1)求证：AM＝CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E－BCD的体积．3．如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H..4在正方体ABCD­A1B1C1D1中，(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α考点一直线与平面垂直1．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.[提醒]一条直线与一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面不一定垂直，也有可能直线在平面内或平行于该平面，所以“相交”这一条件不可忽略．[典题例析](2023·重庆高考)如图，四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝eq\f(π,3)，M为BC上一点，且BM＝eq\f(1,2).(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥P­ABMO的体积．[类题通法]证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[演练冲关]如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.例2(2023·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M­CDE的体积．1.(1)(2023·大庆市第二次质检)如图，四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离．(2)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝eq\f(1,2)AB，PH为△PAD中AD边上的高．①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面PAB.【强化训练】1.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.eq\a\vs4\al(考点二)__面面垂直的判定和性质______________1．两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.[提醒]平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l⊂α，l⊥β，缺一不可．2．平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β.[典题例析](2023·江苏高考)如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.[类题通法]1．判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．[演练冲关](2023·山东日照一模)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB.(2023·高考江苏卷)如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.2.如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C(1)EF∥平面A1CD；(2)平面A1CD⊥平面A1ABB1.eq\a\vs4\al(考点三)__垂直关系的综合应用________________(2023·高考北京卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别为A1C1，BC(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE(3)求三棱锥E­ABC的体积．【变式训练】1..如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB(1)设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长等于2，求三棱锥C­B1ED(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD.2(2023·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥和F分别是CD、PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.3(2023·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．题型三直线、平面垂直的综合应用1.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4eq\r(5).(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．2(2023·江西)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C(2)求点B1到平面EA1C1考题溯源——空间线面垂直关系的证明3(2023·高考湖南卷)如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD14如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C(2)求点B1到平面EA1C15．(2023·山东高考)如图，四棱锥P­ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.角度二：探索性问题中的平行与垂直关系6．(2023·大连双基测试)已知三棱柱ABC­A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.(1)求证：BB′⊥底面ABC；(2)在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥平面BEF，并给出证明．eq\a\vs4\al(考点四)__平面图形的翻折问题__________________1．(2023·青岛二模)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.2.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1­BCD，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；(2)求证：BD⊥A1F(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．3..(2023·湖北武汉市调研)如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A­BCD.(1)求证：平面AOC⊥平面BCD；(2)若三棱锥A­BCD的体积为eq\f(\r(6),3)，且∠AOC是钝角，求AC的长．4．如图(1)，在平面四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝135°，∠C＝60°，AB＝AD，M，N分别是边AD，CD上的点，且2AM＝MD，2CN＝ND.如图(1)，将△ABD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，并连接AC，MN(如图(2))．(1)证明：MN∥平面ABC；(2)证明：AD⊥BC；(3)若BC＝1，求三棱锥A­BCD的体积．【课后练习】1．(2023·南京检测)如图，在正三棱锥ABC­A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A12.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.3．(2023·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO(1)证明：B1C⊥AB(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC­A1B1C1.4．(2023·西城一模)如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．(1)求证：AB∥平面SCD；(2)求证：SN⊥平面ABCD；(3)在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出eq\f(SP,PC)的值；若不存在，说明理由．5.(2023·商丘质检)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C＝4.(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求证：FB∥平面A′DE.2023年空间几何真题1．【2023高考浙江，文4】设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．【2023高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛3．【2023高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）B．C．D．4．【2023高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（B）（C）（D）5．【2023高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．6．【2023高考广东，文6】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交B．与，都相交C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交7．【2023高考浙江，文7】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支8．【2023高考湖北，文5】表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件9．【2023高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则（）（A）（B）（C）（D）10．【2023高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．B．C．D．11．【2023高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）QUOTE错误！未找到引用源。（B）QUOTE错误！未找到引用源。（）（）12．【2023高考湖南，文10】某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A、B、C、D、13．【2023高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．C．D．14．【2023高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）15．【2023高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．16．【2023高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为．17．【2023高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A评卷人得分三、解答题（题型注释）18．【2023高考安徽，文19】如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，．（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值．19．【2023高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．20．【2023高考福建，文20】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．（Ⅰ）若为线段的