2021-2022学年河南省驻马店市平舆县第三高级中学高一数学理测试题含解析

2021-2022学年河南省驻马店市平舆县第三高级中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=的值域为（）A．[3，+∞） B．（0，3] C． D．参考答案：C【考点】函数的值域．【分析】换元得出y=（）t，t≤1，根据指数函数的性质得出即可．【解答】解：∵函数y=∴设t=﹣x2+2x，x∈R得出t≤1y=（）t，t≤1根据指数函数的性质得出：值域为：[，+∞）故选：C．2.角α的终边过点（3a﹣9，a+2），且cosα＜0，sinα＞0，则a的范围是（）A．（﹣2，3） B．[﹣2，3） C．（﹣2，3] D．[﹣2，3]参考答案：A【考点】三角函数值的符号．【分析】由cosα＜0且sinα＞0，判断出此点是第二象限中的点，实数a的取值范围易得．【解答】解：由题意α的终边上有一点P（3a﹣9，a+2），满足cosα＜0且sinα＞0，故此点是第二象限中的点，∴3a﹣9＜0，且a+2＞0，∴﹣2＜a＜3，故选：A．【点评】本题考查三角函数的符号，求解的关键是根据三角函数值的符号确定出点P的坐标的象限，从而得到关于实数a的不等式，求出实数n的取值范围3.下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为

（

）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我离开家后骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我离开家出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。A、（1）（2）（4）

B、（4）（2）（3）

C、（4）（1）（3）

D、（4）（1）（2）参考答案：D4.若为等差数列，是其前n项和，且，则的值为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.函数f(x)=|x－1|（

）A．在(－1,+∞)上单调递增

B．在(1,+∞)上单调递增

C.在(－1,+∞)上单调递减

D．在(1,+∞)上单调递减参考答案：B因为，故其在在上单调递增，故选B.

6.在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】HU：解三角形的实际应用；HT：三角形中的几何计算．【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC?BC=AB?AC?sinA=?BC?BC?sinA，∴sinA=，故选：D7.下列式子中成立的是（

）A.

B.

C.

D.[来源参考答案：D8.设，实数满足，则关于的函数的图像形状大致是（

）A

B

C

D

参考答案：B略9.设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK（x）=取函数f（x）=a﹣|x|（a＞1）．当K=时，函数fK（x）在下列区间上单调递减的是(

)A．（﹣∞，0） B．（﹣a，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）参考答案：D【考点】函数的单调性及单调区间．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】先求出新函数的分界值，在利用定义求出新函数的解析式，最后利用指数函数的单调性求出结论即可．【解答】解：因为?x=﹣1，x=1，所以：fK（x）==，因为a＞1，所以当x≤﹣1时，函数递增，当﹣1＜x＜1时，为常数函数，当x≥1时，为减函数．故选D．【点评】本题是在新定义下对函数单调性以及单调区间的综合考查．在作带有新定义的题目时，一定要先理解定义，再用定义作题．10.复数对应的点落在（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：C【分析】利用复数的运算法则化简复数，根据复数的几何意义即可求得对应点，即可判断.【详解】因为，故其对应的点为，容易知其位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若方程表示圆，则实数m的取值范围为_______．参考答案：【分析】方程表示圆，需要计算得到答案.【详解】方程表示圆则【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题.12.已知角的终边过点P(4，-3),那么的值为

参考答案：13.圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是

．参考答案：x2+（y﹣5）2=25【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程．【解答】解：圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，设圆的圆心（0，r），半径为r．则：．解得r=5．所求圆的方程为：x2+（y﹣5）2=25．故答案为：x2+（y﹣5）2=25．【点评】本题考查圆的方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键．14.函数f（x）＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是___________．参考答案：（1，4）15.设函数，则的值为

.参考答案：

16.函数的定义域是

参考答案：17.已知是两个相互垂直的单位向量，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．参考答案：【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD?面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E?面ADC1，AD?平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．19.如图，矩形中，平面，为上的点，且平面.（1）求证：平面；（2）求证：∥平面.参考答案：略20.(本大题满分9分)写出两角差的余弦公式，并证明参考答案：（Ⅰ）略（Ⅱ）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c则S＝bcsinA＝＝bccosA＝3＞0∴A∈(0,),cosA＝3sinA又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝,cosA＝由题意，cosB＝,得sinB＝∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝

故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－21.（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=ax+3（a∈R），记函数F（x）=f（x）﹣g（x），（1）判断函数F（x）的零点个数；（2）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．（3）若a＞0，设F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．参考答案：考点： 二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）求出函数F（x）的表达式，根据判别式即可判断函数零点的个数．（2）根据函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，即可求实数a的取值范围．（3）根据函数F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），讨论对称轴与区间的关系，即可求出g（a）．的表达式解答： （1）∵f（x）=x2，g（x）=ax+3（a∈R），∴函数F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣3．则判别式△=a2﹣4（﹣3）=a2+12＞0，∴函数F（x）的零点个数有2个．（2）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣3．∴|F（x）|=|x2﹣ax﹣3|=，当a≤0时，对应的图象为：，当a＞0时，对应的图象为：，∴要使函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，则，解得﹣2≤a≤0．（3）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣3=（x﹣）2﹣3，∴对称轴x=，①若，即0＜a≤2时，函数F（x）在[1，2]上单调递增，∴F（x）最小值为g（a）=F（1）=﹣2﹣a．②若，即a≥4时，函数F（x）在[1，2]上单调递减，∴F（x）最小值为g（a）=F（2）=1﹣2a．③若，即2＜a＜4时，函数F（x）在[1，2]上不单调，∴函数F（x）最小值为g（a）=F（）=﹣﹣3．综上：g（a）=．点评： 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法得到二次函数的对称轴，根据对称轴和单调区间之间的关系是解决本题的关键．22.设数列{an}的前n项和为Sn，它满足条件，数列{bn}满足.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}是一个单调递增数列，求实数t的取值范围.

参考答案：解：（1）两式相减得