2021-2022学年江西省赣州市洛口中学高一数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年江西省赣州市洛口中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合,,则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C2.已知幂函数y=xn的图象经过点（2，8），则此幂函数的解析式是（）A．y=2x B．y=3x C．y=x3 D．y=x﹣1参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，带入点的坐标，求出函数的解析式即可．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，8），∴f（2）=8=23，从而α=﹣3函数的解析式f（x）=x3，故选：C．【点评】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，本题是一道基础题．3.角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ的值．【解答】解：由题意可得，x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴sinθ===，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|x2+2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣3＜x＜3}参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|x2+2x﹣3＜0}={x|﹣3＜x＜1}，∴集合M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选：C．5.参考答案：B略6.若函数在一个周期内的图象如图所示，且在y轴上的截距为，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，则在方向上的投影为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D因为，所以所以因此在方向上的投影为.

7.设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，

∣∣=∣∣,则∣

?∣的值一定等于A．以，为邻边的平行四边形的面积

B.以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积

D.以，为邻边的平行四边形的面积参考答案：解析：假设与的夹角为，∣

?∣=︱︱·︱︱·∣cos<，>∣=︱︱·︱︱?∣cos(90)∣=︱︱·︱︱?sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选A。8.不等式的解集是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】先分解因式再解不等式.【详解】因为，所以或，选C.【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.9.圆在点处的切线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.正方体的棱长和外接球的半径之比为()．A．∶1 B．∶2 C．2∶ D．∶3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，，则，则=．

参考答案：

【考点】向量的三角形法则．【分析】利用向量的三角形法则和共线向量定理即可得出．【解答】解：由向量的三角形法则可得：==，∴=．故答案为．12.已知函数f（x）=log0.5（﹣x2+4x+5），则f（3）与f（4）的大小关系为．参考答案：f（3）＜f（4）【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数f（x）=log0.5x在R上单调递减即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=log0.5x在R上单调递减，f（3）=log0.58，f（4）=log0.55，∴f（3）＜f（4）．故答案为：f（3）＜f（4）．【点评】本题考查了对数函数的单调性，属于基础题．13.已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为P，则线段AB的长为____________.参考答案：10直线的斜率为2，的斜率为。因为两直线垂直，所以，所以。所以直线方程，中点。则，在直角三角形中斜边的长度，所以线段AB的长为1014.若，为了运行如图所示的伪代码后输出的y值为，则应输入的值为

．参考答案：15.已知，0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，且sin（α+β）=，则sin2α的值为．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由0＜β＜α＜，可得0＜α﹣β＜，0＜α+β＜，利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），cos（α+β）的值，根据sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]由两角和的正弦函数公式即可求值．【解答】解：∵0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=，∴0＜α﹣β＜，0＜α+β＜，∴sin（α﹣β）==，cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=×+×=．故答案为：．16.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．

【专题】计算题．【分析】正确理解题意，充分应用正方形的知识和圆的知识，表示出两种图形的面积．构造目标函数后结合目标函数的特点﹣﹣一元二次函数，利用二次函数的性质求最值．【解答】解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1﹣x，半径r=．∴S正=（）2=，S圆=π?．∴S正+S圆=（0＜x＜1）．∴当x=时有最小值．答案：【点评】本题充分考查了正方形和圆的知识，目标函数的思想还有一元二次函数求最值的知识．在解答过程当中要时刻注意定义域优先的原则．17.等比数列的公比，前项的和为．令，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设关于的函数，其中为上的常数，若函数在处取得极大值．(1)求实数的值；(2)若函数的图像与直线有两个交点，求实数的取值范围；(3)设函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：(1)

------2分因为函数在处取得极大值所以,解

-------4分(2)由（Ⅰ）知，令得或（舍去）---6分

，所以，此时

当时，在递增，成立；当时，不成立，

------------13分综上，

------------14分平均分：90

及格率：70%

优秀率：15%19.（本小题满分16分）已知函数（其中k为常数，）为偶函数.(1)求k的值；(2)用定义证明函数在(0,5)上是单调减函数；(3)如果,求实数m的取值范围.参考答案：解：(1)由是偶函数，得，即，∴．.…………4分(2)由(1)知．取任意，且．

………………6分则

…8分∵，∴，，．∴，函数在上是单调减函数．.……10分(3)由,又是偶函数，得．又由(2)得函数在上是单调减函数，所以，解得.

所以实数的取值范围是.…16分

20.（本小题12分）一片森林原来面积为，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少,10年后森林面积变为，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林面积为.(1)求的值；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？参考答案：略21.已知圆C关于直线x+y+2=0对称，且过点P（﹣2，2）和原点O．（1）求圆C的方程；（2）相互垂直的两条直线l1，l2都过点A（﹣1，0），若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）设圆心坐标为（a，﹣a﹣2），利用圆过点P（﹣2，2）和原点O，求出a，即可求圆C的方程；（2）利用圆的对称性，直接求出直线的斜率，写出直线方程即可．【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，﹣a﹣2），则r2=（a+2）2+（﹣a﹣2﹣2）2=a2+（﹣a﹣2）2，∴a=﹣2，r2=52，∴圆C的方程为（x+2）2+y2=4；（2）设圆C的圆心为C，l1、l2被圆C所截得弦长相等，由圆的对称性可知，直线l1的斜率k=±1，∴直线l1的方程为：x﹣y+1=0或x+y+1=0．【点评】本题考查圆的标准方程的求法、直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题．22.已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简已知可得sinα=sinβ，cosα=cosβ，将两式平方后利用同角三角函数基本关系式解得或，结合角的范围即可得解α，