2021-2022学年安徽省黄山市头中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年安徽省黄山市头中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知［－1,1］，则方程所有实数根的个数为(

)A．2

B.3

C.4

D.5参考答案：D2.已知函数f（x）=|sinx|（x∈[﹣π，π]），g（x）为[﹣4，4]上的奇函数，且，设方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的实根的个数分别为m、n、t，则m+n+t=（）A．9 B．13 C．17 D．21参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据x∈[﹣π，π]时函数f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，由函数g（x）的图象与性质得出其值域为[﹣4，4]，由方程f（x）=0的根得出方程f（f（x））=0根的个数m；求出方程f（g（x））=0的实根个数n；由方程g（x）=0的实根情况得出方程g（g（x））=0的实根个数t；从而求出m+n+t的值．【解答】解：因x∈[﹣π，π]，所以函数f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，函数g（x）=的图象如图示，由图象知，其值域为[﹣4，4]，注意到方程f（x）=0的根为0，﹣π，π，所以方程f（f（x））=0的根为方程f（x）=0或f（x）=﹣π，f（x）=π的根，显然方程f（x）=0有3个实根，因﹣π，π?[0，1]，所以f（x）=﹣π，与f（x）=π均无实根；所以方程f（f（x））=0的实根的个数为3，即m=3；方程f（g（x））=0的实根为方程g（x）=0或g（x）=﹣π，g（x）=π的根，方程g（x）=﹣π，g（x）=π各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，从而方程f（g（x））=0根的个数为9，即n=9；方程g（x）=0有三个实根﹣3、0、3，方程g（g（x））=0的实根为方程g（x）=﹣3或g（x）=0或g（x）=3的根，方程g（x）=﹣3或g（x）=3各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，从而方程g（g（x））=0根的个数为9，即t=9；综上，m+n+t=3+9+9=21．故选：D．3.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若函数为奇函数，则函数在区间上的值域是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据对称轴之间距离可求得最小正周期，得到；利用平移变换得到，根据为奇函数可求得，从而可得到解析式；根据的范围求得的范围，从而可求得函数的值域.【详解】由相邻两条对称轴之间的距离为，可知最小正周期为即：

向左平移个单位长度得：为奇函数

，即：，又

当时，

本题正确选项：【点睛】本题考查余弦型函数的值域问题的求解，关键是能够根据函数的性质和图象平移变换的原则得到函数的解析式，进而可通过整体对应的方式，结合余弦函数的解析式求解出函数的值域.4.若定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是(

)A.(3，＋∞)

B.(－∞，3)

C.(－3，＋∞)

D.(－∞，－3)参考答案：A5.已知不等式组，表示的平面区域为D，点O（0，0）、A（1，0），若M是D上的动点，则向量在向量方向上的投影的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，设向量与向量的夹角为θ，求得向量在向量方向上的投影z=．数形结合求出cosθ的最小值得答案．【解答】解：设M（x，y），则，再设向量与向量的夹角为θ，则向量在向量方向上的投影z=．由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（1，3），∴cosθ的最小值为．∴向量在向量方向上的投影z=的最小值为1×．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．6.函数的零点的个数为（

）A．0 B．1

C．2

D．3参考答案：B7.函数的单调递增区间是A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.如下图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为

参考答案：9.函数的部分图象大致为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】先根据函数的奇偶性的定义得到f（x）为偶函数，再根据极限可得当x，即得解．【详解】函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵，根据极限可得当x，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证.10.已知等比数列满足，且，则当时，

（

）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得100的所有正约数之和为．参考答案：217【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，类比36的所有正约数之和的方法，有：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）（1+5+52）=217．可求得100的所有正约数之和为217．故答案为：217．12.已知底面边长为,各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为

。参考答案：13.已知正数满足，则行列式的最小值为

．参考答案：314.在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是

．参考答案：【考点】几何概型；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由已知中在区间（0，2）内任取两个实数，我们易求出该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件椭圆的离心率大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：区间（0，2）内任取两个实数计为（m，n），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，当m＞n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，m＞2n；当M＜n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，n＞2m；故其中满足椭圆的离心率大于时，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面区域如下图中阴影部分所示：其中正方形面积S=4，阴影部分面积S阴影=2××2×1=2．∴所求的概率P==故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中计算出总的基本事件对应的几何图形的面积及满足条件的几何图形的面积是解答本题的关键．15.不等式的解为

.参考答案：由得，即，所以不等式的解集为。16.设则圆的参数方程为__________________________。参考答案：

解析：，当时，；当时，；

而，即，得17.已知实数x，y满足，则的取值范围是．参考答案：[1，]【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得，即A（1，），此时AD的斜率k==，即1≤≤，故的取值范围是[1，]故答案为：[1，]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面直线，求证：直线.参考答案：（1）证明：取线段的中点，连接在直角梯形中，由条件易得，又因为，为中点，所以，因为平面，且所以平面，故（2）解：由条件可知在梯形中，，平面，平面，所以平面又因为平面，平面平面所以.19.已知圆：与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得(为坐标原点)，求的取值范围；（3）设，是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案：（1）若直线的斜率不存在，则的方程为：，符合题意。……2分若直线的斜率存在，设的方程为：，即∴点到直线的距离∵直线被圆截得的弦长为∴∴，此时的方程为：∴所求直线的方程为或……5分（2）设点的坐标为，由题得点的坐标为，点的坐标为由可得，化简可得……7分∵点在圆上，∴∴∴所求的取值范围是……10分（3）∵，则，∴直线的方程为令，则

同理可得∴∴为定值……16分20.（13分）已知函数(为实常数)．（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；（2）当时，讨论方程根的个数．（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．参考答案：21.（本小题满分12分）在数列中，其前项和为，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设（为正整数）,求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）(Ⅰ)由题设得:,所以所以

……………2分当时，,数列是为首项、公差为的等差数列故.……………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知:

……………6分

……………9分设则两式相减得：整理得：

……………11分所以

……………12分

22.已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c．若f（x）＜0的解集是（﹣1，5）（1）求实数a，c的值；（2）求函数f（x）在x∈[0，3]上的值域．参考答案：解：（1）由f（x）＜0，得：ax2﹣4x+c＜0，不等式ax2﹣4x+c＜0的解集是（﹣1，5），故方