2021-2022学年天津枫林路中学高二数学文模拟试卷含解析

2021-2022学年天津枫林路中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.记集合和集合表示的平面区域分别为。若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…51.6671.00.7140.5560.4550.3570.3330.294…那么方程的一个根位于下列区间的（

）

.

.

..参考答案：A3.设，，则满足条件，的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是

(

）参考答案：A4.在空间四边形ABCD中，(

)A.－1

B.0

C.1

D.以上答案都不对参考答案：B5.“”是“方程表示椭圆”的什么条件（

）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C若方程表示椭圆，则，解得：∴“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件故选：C

6.不等式x2﹣4x+3＜0的解集为（）A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）参考答案：A【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x﹣1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣4x+3＜0可化为（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，∴不等式的解集为（1，3）．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．7.在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：C8.等差数列{an}的前m项和为20，前2m项和为70，则它的前3m的和为（）A．130 B．150 C．170 D．210参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m仍然成等差数列，根据仍然成等差数列．进而代入数值可得答案．【解答】解：若数列{an}为等差数列则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有Sm=20，S2m=70，S3m﹣70+20=2（70﹣20）所以S3m=150．故选B．9.在的展开式中，的系数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B10.已知满足不等式组，则的最大值为（

）A.-2

B.0

C.2

D.4参考答案：C不等式组的可行域为三角形其中令,则的最大值，即为在轴截距相反数的最大值，其直线过点时值最大，其值为.的最大值为故本题正确答案是

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图所示的伪代码，最后输出的S值为

▲

．

参考答案：10由题可得：故输出的S=10

12.圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为

▲

参考答案：13.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为____________参考答案：314.在等腰直角三角形ABC中，在斜线段AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率是_______________________。参考答案：15.若在展开式中x3的系数为－80，则a=

．参考答案：－2；16.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（2，0）的椭圆的标准方程是__________.参考答案：或17.定义运算，则符合条件的复数对应的点位于复平面内的第________象限．参考答案：一

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+，（其中）且与点A相距海里的位置C。

（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）

（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。参考答案：解：（1）如图，，

，，且

所以…………………4分由余弦定理：，得…………6分A

所以船的行驶速度为（海里/小时）…7分（2）如图建系A-x，设，），，）

由已知=，

∴B（40，40）…………………8分且

∴C（30，20）

………10分且直线BC的方程为，且E（0，55）…12分故点E到直线BC的距离所以船会进入警戒水域。……14分略19.（本小题满分14分）如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．参考答案：（Ⅰ）证明：取中点，连结，

………………1分因为△是正三角形，所以.因为四边形是直角梯形，，，所以四边形是平行四边形，，又

，所以.所以平面，………………3分所以.

………………4分（Ⅱ）解：因为平面平面，，所以平面，所以.

………………5分如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.则，，，，.

所以,，

………………6分设平面的法向量为，则

，

………………7分令，则,.所以.

………………8分同理求得平面的法向量为，

………………9分设平面与平面所成的锐二面角为，则.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

………………10分（Ⅲ）解：设，因为，所以，,.依题意

即

………………11分解得，.

………………12分符合点在三角形内的条件.

………………13分所以，存在点，使平面，此时.…………14分20.已知函数,，其中且，e为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）是否存在，对任意的，任意的，都有？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，，，无极小值;当时，函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，，无极大值.（2）存在满足题意.【分析】(1)求出导数，分和讨论函数的单调区间和极值.(2)由题意可得，利用导数求出和，解关于的不等式即可.【详解】（1）（且）.当时，由可得且；由可得,函数的单调递减区间是，单调递增区间是，，，无极小值.当时，由可得；由可得且,函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，，无极大值.综上，当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，，，无极小值;当时，函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，，无极大值.（2）由题意，只需.由（1）知当，时，函数在上单调递减，在上单调递增，故.，.当，时，由可得；由可得.函数在上单调递增，在上单调递减，故，不等式两边同乘以，得，故.，.存在满足题意.【点睛】本题考查导数的综合运用问题，考查分类讨论、化归与转化的数学思想.对于含有参数的函数，若参数的不同取值对导函数的符号有影响，则需要对参数进行分类讨论.涉及任意性、存在性(或恒成立、能成立)的问题，一般可以转化为函数最值之间的关系，再利用导数求解.21.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点M（，）在双曲线上．（1）求双曲线C的方程．（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且?=0，求|OP|2+|OQ|2的最小值．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由渐近线方程可得关于a、b的一个方程，再把点M（，）代入双曲线的方程又得到关于a、b的一个方程，将以上方程联立即可解得a、b的值；（2）利用?=0得x1x2+y1y2=0、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可求出．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线方程为y=±x，∴b=a，双曲线的方程可设为3x2﹣y2=3a2．∵点M（，）在双曲线上，可解得a=2，∴双曲线C的方程为=1．（2）设直线PQ的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12=0∴（*）x1+x2=，x1x2=，由?=0得x1x2+y1y2=0，把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入上式可得（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）?+