2021-2022学年四川省成都市高埂中学高二数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年四川省成都市高埂中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a为函数的极小值点，则a＝（

）A.－9 B.－2 C.4 D.2参考答案：D∵，∴，∴当或时，单调递增；当时，单调递减．∴当时，有极小值，即函数的极小值点为2．选D．

2.参数方程表示的曲线是A.线段

B.射线

C.双曲线的一支

D.圆参考答案：A略3.E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A的中点，F为棱的AB上的一点，且∠C1EF=90°，则AF:FB等于

A、1:4

B、1:1

C、3:1

D、1:3参考答案：D4.已知三棱锥A﹣BCD内接于球O，AB=AD=AC=BD=，∠BCD=60°，则球O的表面积为(

)A． B．2π C．3π D．参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【专题】球．【分析】画出图形，求出底面三角形的外接圆的半径，求出A到底面BCD的距离，然后取得外接球的半径，即可求解表面积．【解答】解：如图：底面△BCD中，BD=，∠BCD=60°，∴GB=r==1，∵AB=AD=AC=BD=，A﹣BCD是圆锥，∴AG⊥平面BCD，并且经过球的球心O，则AG===，设球的半径为R，OB2=OG2+GB2，即，解得R=，∴球O的表面积为：4πR2==．故选：D．【点评】本题考查的表面积的求法，几何体的外接球与几何体的关系，考查空间想象能力以及计算能力．5.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，即可算出事件A的概率．【解答】解：∵总个数n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3∴P==．故选：A．6.将连续（n3）个正整数填入nn方格中，使其每行，每列，每条对

角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n阶幻方数阵。记f（n）为n阶幻方数阵对角线上数的和，如右图就是一个3阶幻方数阵，可知f（3）=15.若将等差数列：3，4，5，6，的前16项填入44方格中，可得到一个4阶幻方数阵，则其对角线上的和f（4）等于（

） 834159672

A．44

B．36

C．42

D．40参考答案：C7.正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（

）A．结论正确

B．大前提不正确

C．小前提不正确

D．大前提、小前提、结论都不正确参考答案：C根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提是：是正弦函数，因为该函数不是正弦函数，故错误；结论：是奇函数，故错误.故选：C.

8.下列说法中正确的是（

）①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越弱；②回归直线一定经过样本点的中心；③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度；④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好.A．①②

B．③④

C.①④

D．②③参考答案：D①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，则相关性越强，所以错误；②回归直线一定经过样本点的中心，正确；③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度，正确；④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好，所以错误．所以正确的有②③。故选D。

9.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m参考答案：B【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m?α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B10.已知点A(a，b)与点B(1,0)在直线3x－4y＋10＝0的两侧，给出下列说法：①3a－4b＋10>0；

②>2；③当a>0时，a＋b有最小值，无最大值；④当a>0且a≠1，b>0时，的取值范围为∪.其中正确的个数是(

)A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，，….，类比这些等式，若（均为正实数），则=

▲

．参考答案：41略12.若tan=3，则的值等于

；参考答案：6试题分析：考点：三角函数的倍角公式与同角三角函数的商数关系13.378与90的最大公约数为________．参考答案：1814.已知点及椭圆上任意一点，则最大值为

。参考答案：15.已知三棱锥，侧棱两两互相垂直，且，则以为球心且1为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是

▲

.参考答案：略16.管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘。10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条。根据以上数据可以估计该池塘内共有

条鱼。参考答案：750略17.若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点A(1，2).（I）求C的标准方程；（Ⅱ）若O为坐标原点，F是C的焦点，过点F且倾斜角为45°的直线l交C于A，B两点，求△AOB的面积.参考答案：（I）依题意可设抛物线的方程是因为抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程（Ⅱ）法一：由（I）得，焦点，依题意知直线的方程是，联立方程化简，得设则，利用弦长公式得.点到直线的距离，所以的面积为.法二：由（I）得，焦点，依题意知直线的方程是，联立方程化简，得设则，采用割补法，则的面积为法三：由（I）得，焦点，依题意知直线的方程是，联立方程化简，得设由韦达定理，得.利用抛物线定义，得点到直线的距离，所以的面积为.19.（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点．参考答案：解（1）由题意知，所以．即．又因为，所以，．故椭圆的方程为．…………4分（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．…5分由得．

①…………6分设点，，则．直线的方程为．令，得．将，代入整理，得．②由①得，代入②整理，得．所以直线与轴相交于定点…………13分略20.已知函数，其中，e是自然对数的底数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调减区间；参考答案：(1).(2)见解析.【分析】（1）由时，可得，求得和，利用直线的点斜式方程，即可求解.（2）由函数，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间.【详解】（1）由题意，当时，可得，所以.又由，所以，即切线斜率为，所以切线方程为，即.（2）由函数，则，当时，，函数单调递增，所以无单调减区间；当即时，列表如下：-2+0-0+极大值极小值

所以的单调减区间是.当即时，，列表如下：-2+0-0+极大值极小值

所以的单调减区间是.综上，当时，无单调减区间；当时，的单调减区间是；当时，的单调减区间是.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数与函数的单调性的关系，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.（本小题满分12分）以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心率为,且过点．(1)求椭圆及其“伴随”的方程;(2)过点作“伴随”的切线交椭圆于,两点,记为坐标原点)的面积为,将表示为的函数,并求的最大值.参考答案：(1)椭圆的离心率为,则,

设椭圆的方程为

……………2分 ∵椭圆过点，∴，

∴，

…………….………..4分 ∴椭圆的标准方程为，

椭圆的“伴随”方程为.

………..6分(2)由题意知，.易知切线的斜率存在,设切线的方程为由得………..8分设,两点的坐标分别为,,则,. 又由与圆相切,所以,. 所以

……10分

,.(当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1.

………..12分22.已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；