2021-2022学年四川省凉山市雷波南田中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年四川省凉山市雷波南田中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的部分图象如图所示，则圆中最长弦的长度为A.

B.

C.5

D.以上均不正确参考答案：B由题设得，则，故，将代入可得，即，所以.所以=0，故半径r=，最长弦即为直径，其长为2r=.2.已知函数的导函数图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是（

）A． B．C． D．参考答案：D3.若有样本容量为8的样本平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据为4，现在样本容量为9，则样本平均数和方差分别为（

）．．

．

．

．参考答案：D4.设集合，集合，则等于

A.(1,2)

B.[1,2]

C.[1,2)

D.(1,2]参考答案：5.下列函数中，最小值为4的是

(

）A．

B．C．

D．参考答案：C6.设a，b，c∈R，则“1，a，b，c，16为等比数列”是“b=4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据数列的第一项和第五项的值，求得公比q，进而通过等比数列的通项公式求得第三项b，再根据充分必要的条件的定义判断即可．【解答】解：依题意可知a1=1，a5=16，∴=q4=16，∴q2=4，∴b=a1q2=4，则“1，a，b，c，16为等比数列”可以推出“b=4”，但由b=4不能推出“1，a，b，c，16为等比数列”，故选：A．7.现有200根相同的圆钢（即圆柱形钢筋），把它们堆放成一个三角形垛，使剩余的圆钢最少，那么剩余的圆钢有（）A．20根 B．15根 C．10根 D．9根参考答案：C8.设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若（λ，μ∈R），λ?μ=，则双曲线的离心率为(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由共线向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λ?μ=可得a，c的关系，由离心率的定义可得．解答： 解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），因为=λ+μ，所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ=1，λ﹣μ=，解得：λ=，μ=，又由λμ=，得：=，解得：=，所以，e==．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属于中档题．9.如图，在△ABC中，若AB=5，AC=7，∠B=60°，则BC等于（）A．5

B．6 C．8 D．5参考答案：C【考点】余弦定理的应用．【分析】由已知利用余弦定理即可解得BC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC=60°，且AB=5，AC=7，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC，可得：72=52+BC2﹣2×5×BC×，∴整理可得：BC2﹣5BC﹣24=0，解得：BC=8或﹣3（舍去）．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．10.已知数列{an}为等差数列，若a12+a102≤25恒成立，则a1+3a7的取值范围为（）A．[﹣5，5] B．[﹣5，5] C．[﹣10，10] D．[﹣10，10]参考答案：D【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的性质令a1=5cosθ，a10=5sinθ（0＜θ＜），则d=（sinθ﹣cosθ），问题转化为三角函数在定区间上求最值问题解决即可．【解答】解：由题意得，令a1=5cosθ，a10=5sinθ（0＜θ＜），则d=（sinθ﹣cosθ），∴a1+3a7=10（sinθ+cosθ）=10sin（θ+），∴a1+3a7的取值范围为[﹣10，10]，故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列的性质，借助三角函数，通过等价转化思想达到解决问题的目的，要体会这种换元法的解题思路，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④整数属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数为

．参考答案：312.已知向量．若为实数，，则的值为

．参考答案：，因为，所以，解得。13.若实数x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．参考答案：2【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线找出最优解可得结论．【解答】解：作出，所对应可行域（如图△ABC），变形目标函数z=2x﹣y可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可得当直线经过点A（1，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得最大值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．【答案】【解析】14.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是---

（单位：元）参考答案：略15.已知的三内角、、所对边长分别为是、、，设向量，，若∥，则角的大小为___________参考答案：16.已知则的值为

。参考答案：36【知识点】对数与对数函数B7由于，所以f(9-x)=9-=9-x-于是有f(x)+f(9-x)=9从而f(1)+f(8)=f(2)+f(7)=f(3)+f(6)=f(4)+f(5)=9,故原式的值为【思路点拨】根据函数的性质找出规律求出结果。17.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n=

.参考答案：4，令得：，解得．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知过点A（0，1）的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，B为椭圆上的任意一点，且|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系，再根据椭圆C过点A，求出a、b的值，即可写出椭圆C的标准方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据题意知x1=﹣2，y1=0；联立方程消去y，由方程的根与系数关系求得x2、y2，由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，?＞0；由此列不等式求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差数列，∴2|F1F2|=|BF1|+|BF2|=（|BF1|+|BF2|），由椭圆定义得2?2c=?2a，∴c=a；又椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，1），∴b=1；∴c2=a2﹣b2=a2﹣1=a2，解得a=2，c=；∴椭圆C的标准方程为+y2=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程，消去y得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0；依题意直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，∴x1=﹣2，y1=0，﹣﹣﹣﹣①由方程的根与系数关系可得，x1+x2=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k；﹣﹣﹣﹣③由①②③，解得x2=，y2=；由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，即?＞0；由=（﹣2，﹣1），=（x2，y2﹣1），∴?=﹣2x2﹣y2+1＞0；即+﹣1＜0，整理得，20k2﹣4k﹣3＞0，解得：k＜﹣或k＞，∴实数k的取值范围是k＜﹣或k＞．19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是菱形，，平面平面ABCD.（I）求证：平面BDE；（II）若AF//DE，，点M在线段BD上，且，求证：AM//平面BEF.参考答案：证明：（Ⅰ）因为,,,,所以平面，又,所以--------------------------------------2分因为是菱形，所以，又,从而平面．------------------------------------5分（Ⅱ）法一：延长交于点,---------------6分因为，，所以-----------------------------7分因为，所以，因此,所以--------9分所以,--------10分又平面，平面，所以平面．--------------------12分（Ⅱ）法二：在中，过点作，连接，----------------6分因为，所以，----------------------------------------7分因为，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，------------------------------------10分，因为平面，平面，因此平面．----------------------12分20.如图，已知六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M，N分别是棱AB，AA1上的点，且AM=AN=1．（1）证明：M，N，E1，D四点共面；（2）求直线BC与平面MNE1D所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）正面四点共面的方法主要采用线线平行来得到．（2）首先建立空间直角坐标系，进一步利用法向量知识利用向量的夹角余弦公式求出结果．【解答】（1）证明：连接A1B，D1B1，BD，A1E1，在四边形A1B1D1E1中，A1E1=B1D1，且，A1E1∥B1D1，在四边形BB1D1D中，BD∥B1D1，且BD=B1D1，所以：A1E1∥BD，且A1E1=BD，则四边形A1BDE1是平行四边形．所以A1B∥E1D．在△ABA1中，AM=AN=1，AB=AA1=3，所以：则：MN∥BA1，且：MN∥DE1，所以：M，N，E1，D四点共面；（2）解：以点E坐标原点，EA，ED，EE1线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则B（），C（），D（0，3，0），E1（0，0，3），M（3，1，0）．，，，设平面MNE1D的法向量为：，则：，即：，解得：，设直线BC与平面MNE1D所成的角为θ，则sinθ==故直线BC与平面MNE1D所成的角的正弦值为．【点评】本题考查的知识要点：四点共面的判定，直线与平面的夹角的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，向量的数量积的应用．主要考查学生的应用能力．21.设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sintannθ，其前n项和为Sn（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（﹣1）tannθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】证明：（1）an=sintannθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，an=sinkπ?tannθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，an=?tannθ=（﹣1）k﹣1tannθ=（﹣1）tannθ．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．22.已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆的左右焦点，B1为椭圆短轴的一个端点，的面积为.（1）求椭圆的方程;（2）若A、B、C、D是椭圆上异于顶点的四个点AC与BD相交于点