2021-2022学年北京小店中学高一数学理模拟试题含解析

2021-2022学年北京小店中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.要得到函数的图象，只要把函数的图象A．向右平移个单位

B．向左平移个单位C．向右平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：B略2.方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（）A．（，+∞） B．（，1] C．（0，） D．（，1]参考答案：D【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得，函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，即函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点．而函数y=的图象是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于x轴及x轴上方的部分），直线y=k（x﹣1）+2，即kx﹣y+2﹣k=0的斜率为k，且经过点M（1，2），当直线和半圆相切时，由=1，求得k=．当直线经过点A（﹣1，0）时，由0=k（﹣1﹣2）+3求得k=1．数形结合可得k的范围为（，1]，故选：D．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了函数和方程的转化及数形结合的数学思想，属于中档题．3.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）

A.至少有一次中靶

B.两次都中靶

C.两次都不中靶

D.只有一次中靶参考答案：B4.使关于x的不等式有解的实数k的最大值是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：本题实质上是求的值域的上限.将看成是点和点B（－2，－1）确定的直线的斜率，而A在单位圆周上运动，当BA为圆的切线时斜率取最值，由此容易求得

故选D.5.下列函数中，与函数有相同图象的是（A）

（B） （C） （D）参考答案：C略6.（1）已知，求的值.（2）已知为锐角，，，求的值.参考答案：解：（1）原式=

=

（2）因为为锐角，，所以，---------------

1分由为锐角，，又，---------------1分所以，---------------2分因为为锐角，所以，所以.

---------------1分

略7.给定映射，则在映射下，的原象是（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.若集合A＝｛x｜ax2＋2x＋a＝0，a∈R｝中有且只有一个元素，则a的取值集合是（）A、｛1｝

B、｛－1｝

C、｛0，1｝

D、｛－1，0，1｝参考答案：D略9.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，则下列命题错误的是（

）

A．如果直线a⊥α，那么直线a必垂直于平面β内的无数条直线B．如果直线a∥α，那么直线a不可能与平面β平行C．如果直线a∥α，a⊥l，那么直线a⊥平面βD．平面α内一定存在无数条直线垂直于平面β内的所有直线参考答案：B10.在平面直角坐标系中，记d为点到直线的距离，当变化时，d的最大值为（

）A.1B.2C.3D.4参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）=

．参考答案：﹣x2﹣2x【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】要求x＜0时的函数解析式，先设x＜0，则﹣x＞0，﹣x就满足函数解析式f（x）=x2﹣2x，用﹣x代替x，可得，x＜0时，f（﹣x）的表达式，再根据函数的奇偶性，求出此时的f（x）即可．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x，∴当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣2x故答案为﹣x2﹣2x【点评】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，关键是先求x＜0时f（﹣x）的表达式，再根据奇偶性求f（x）．13.已知｜a｜＝4,｜b｜＝8，a与b的夹角为120°，则｜2a-b｜＝

.参考答案：略13.若的最小值为，则实数

。

参考答案：略14.函数的最小值等于

．参考答案：115.在△ABC中，B=60°，AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为

.参考答案：略16.，若，则的值为

．参考答案：-1417.若函数y=ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为6，则实数a=

．参考答案：2【考点】指数函数的图象与性质．【分析】两种情况：（1）当a＞1时，函数y=ax在区间[1，2]上是增函数，所以ymax=a2

ymin=a，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a=6解得：a=2或﹣3（负值舍去）（2）0＜a＜1，函数y=ax在区间[1，2]上是减函数，所以：ymax=a

ymin=a2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a=6，解得：a=2或﹣3，因为0＜a＜1，所以都舍去．【解答】解：（1）当a＞1时，函数y=ax在区间[1，2]上是增函数，所以ymax=a2

ymin=a，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或﹣3（负值舍去）；（2）0＜a＜1，函数y=ax在区间[1，2]上是减函数，所以：ymax=a

ymin=a2，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或﹣3，而0＜a＜1，故都舍去；故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．（2）求二面角M﹣AC﹣B的平面角的正切值．参考答案：考点： 平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题： 计算题；证明题．分析： （1）欲证面MAP⊥面SAC，根据面面垂直的判定定理可知在平面MAP内一直线与平面SAC垂直，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面SAC，而PM∥BC，从而PM⊥面SAC，满足定理所需条件；（2）易证面MAP⊥面SAC，则AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，在△CAN中，由勾股定理求得AN，在Rt△AMN中求出MN，在Rt△CNM中，求出此角即可．解答： 证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中点∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（5分）（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．（3分）∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°在△CAN中，由勾股定理得．在Rt△AMN中，=．在Rt△CNM中，故二面角M﹣AC﹣B的正切值为．（5分）点评： 本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．19.设函数，其中＝(－sinx,cosx)，＝(sinx,－3cosx)，＝(－cosx,sinx)，x∈R。(1)求函数的表达式；

(2)求函数的最大值和单调递增区间。参考答案：解：（1）由题意得f(x)＝＝(－sinx，cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)，＝－sinx（sinx-cosx）+cosx(sinx-3cosx),

（只写到这里给4分）＝,＝＝＝,.

（4分）（2）由（1）得f(x)，所以，它的最大值为；它的单调递增区间由，求得，即为

.

（4分）略20.如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当?=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】向量数乘的运算及其几何意义；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）用α的三角函数的坐标法定义得到P坐标；（Ⅱ）首先写成两个向量的坐标根据?=﹣，得到关于α的三角函数等式，求α的值；（Ⅲ）假设存在M（x，0），进行向量的模长运算，得到三角等式，求得成立的x值．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，?=﹣时，即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．21.设平面向量，（1）证明；（2）当，求.参考答案：