2021-2022学年云南省大理市老君山中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年云南省大理市老君山中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】将问题转化为k＜在x＞1上恒成立，令h（x）=，求出最小值即可．【解答】解：由k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，得：k＜，（x＞1），令h（x）=，（x＞1），则h′（x）=，令g（x）=x﹣lnx﹣2=0，得：x﹣2=lnx，画出函数y=x﹣2，y=lnx的图象，如图示：∴g（x）存在唯一的零点，又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，∴零点属于（3，4）；∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，而3＜h（3）=＜4，＜h（4）=＜4，∴h（x0）＜4，k∈Z，∴k的最大值是3．故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了函数恒成立问题，是一道中档题．2.若(a－2i)i=b－i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2+b2等于（

）

(A)0

(B)2

(C)

(D)5

参考答案：答案：D3.已知tanθ=，则tan（﹣θ）=（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣参考答案：C【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两角和的正切公式，求得tan（﹣θ）的值．【解答】解：∵tanθ=，则tan（﹣θ）===，故选：C．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．4.已知，则的最小值是（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：A5.的展开式中常数项是（

）A．-15

B．5

C.10

D．15参考答案：B6.直线的倾斜角的取值范围是（

）A.

B.C.

D.

参考答案：B7.若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.已知则的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.函数的定义域为（

）A． B．

C．

D．参考答案：D略10.已知中，内角A，B，C所对边长分别为a,b,c,若，则的面积等于

（A）

(B)

(C)

(D)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象过点，且图象上与点P最近的一个最高点是，把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的单调递增区间是________；参考答案：【分析】先利用给出的特殊点求出图像，再根据函数伸缩变换规律求出，进而求出的单调递增区间.【详解】因为函数的图像过，又因为图象上与点最近的一个最高点是，所以并且的横坐标差个周期，所以，故，将代入得，又因为，故，故.现将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的=2倍得到函数的图象，那么，故它的单调递增区间是【点睛】此题灵活的考查了正弦曲线各种性质和函数图像的伸缩变换，是一道好的三角函数综合题.12.已知等比数列的前项和为，若，则=

参考答案：313.已知=(x,2),=(2,)，若(－)⊥，则|+2|=___________.参考答案：由得，由=（5,5）得.14.已知函数，若，则_________.参考答案：215.若x，y满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：316.若函数f（x）满足，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx+m有两个零点，则实数m的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x，求出x∈（0，1）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx+m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．【解答】解：∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=x，∴当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0），，可得x﹣1=，所以f（x）=，作出f（x）在[﹣1，1）上的图象，如图：因为g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，所以y=f（x）的图象与直线y=mx﹣m有两个交点，由图象可知m∈（0，]．故答案为：（0，]．【点评】此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．17.集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是

.参考答案： 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=nλ?bn+1（λ为常数，且λ≠1）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及λ的值；

（Ⅱ）比较与Sn的大小．参考答案：【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．D2D3【答案解析】（Ⅰ），（Ⅱ）<Sn解析：（Ⅰ）

----------------2分

----------------5分（Ⅱ）令----------9分

--------10分

---------13分【思路点拨】（Ⅰ）根据1-a2是a1与1+a3的等比中项，建立关于a1的方程，解出a1=，从而得出数列{an}的通项公式．再由Tn=nλ?bn+1分别取n=1、2，建立关于{bn}的公差d与λ的方程组，解之即可得到实数λ的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，利用等比数列的求和公式算出Sn的表达式以及由等差数列的通项与求和公式算出{bn}的前n项和Tn=4n2+4n，利用裂项求和的方法即可得到所求的大小关系．19.已知函数（1）设a＞1，试讨论f（x）单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+4，当时，任意x1∈（0，2），存在x2∈，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性得到f（x1）≥f（1）=﹣，问题转化为存在x2∈，使得，分离参数即得到在x∈时有解，求出b的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），=，令f'（x）=0，则x1=1，（a＞1，x2＜0）舍去．令f'（x）＞0，则x＞1，令f'（x）＜0，则0＜x＜1，所以当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减；（2）当时，由（1）可知f'（x）=0的两根分别为x1=1，令f'（x）＞0，则0＜x＜1或x＞3，令f'（x）＜0，则1＜x＜3可知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，所以对任意的x1∈（0，2），有，由条件知存在x2∈，使f（x1）≥g（x2），所以即存在x2∈，使得，分离参数即得到在x∈时有解，由于（x∈）为减函数，故其最小值为，从而，所以实数b的取值范围是．20.如图，CD为△ABC外接圆的切线，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，AB的延长线交直线CD于点D，且BC?AE=DC?AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．参考答案：考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知条件得△AFE∽△CBD，从而∠AFE=∠CBD，又B，E，F，C四点共圆，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能证明CA是△ABC外接圆的直径．（Ⅱ）连结CE，由CE为B，E，F，C所共圆的直径，得CD=CE，由切线性质得AC⊥DC，由此能求出过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解答： （1）证明：∵BC?AE=DC?AF，∴…又DC为圆的切线∴∠DCB=∠EAF…∴△AFE∽△CBD…∴∠AFE=∠CBD…又B，E，F，C四点共圆∴∠AFE=∠CBE…∴∠CBD=∠CBE=90°∴CA是△ABC外接圆的直径…（Ⅱ）解：连结CE，∵∠CBE=90°∴CE为B，E，F，C所共圆的直径…∵DB=BE，且BC⊥DE∴CD=CE…∵DC为圆的切线，AC为该圆的直径∴AC⊥DC…设DB=BE=EA=a，在Rt△ACD中，CD2=BD?DA=3a2，AC2=AB?AD=6a2，∴=，∴=，∴过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为．点评：本题考查三角形外接圆直径的证明，考查两圆半径比值的求法，四点共圆的性质的灵活运用是关键．21.设m＝(sint＋cost)dt，求二项式(m－)6展开式中含x2项的系数及各项系数之和．参考答案：解析∵m＝(sint＋cost)dt＝(sint－cost)＝2.∴(m－)6＝(2－)6，又Tr＋1＝C26－r(－1)rx3－r，令3－r＝2，∴r＝1，∴x2项的系数为－192.令x＝1知各项系数之和为1.略22.（14分）如图3所示，在四面体中，已知，．是线段上一点，，点在线段上，且．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小．参考答案：

解析:(Ⅰ)证明：在中，∵

∴

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．在中，∵

∴

∴