湖南省长沙市干杉中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省长沙市干杉中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，输出的T＝（A）29

（B）44 （C）52

（D）62参考答案：A2.已知实数满足,且.若为方程的两个实数根,则的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.（5）已知函数，若，则（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C4.函数的单调增区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.若=________ A．1 B．—1 C．2 D．—2参考答案：A略6.平面直角坐标系上有两个定点和动点，如果直线和的斜率之积为定值，则点的轨迹不可能是(下列轨迹的一部分)A．圆

B．椭圆 C．双曲线

D．抛物线参考答案：D以AB的中点为原点，AB的所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设

则，整理可得，所以点的轨迹不可能是抛物线。7.设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，则a的取值范围是()A．a<2

B．a>－2C．a>－1

D．－1<a≤2参考答案：C解析：在数轴上表示出集合A、B即可知选C.8.已知集合，则

（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A。命题意图：考查学生对描述法表示集合的理解及集合的运算。9.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】本题应用了合情推理．【解答】解：假设甲猜对，则乙也猜对了，所以假设不成立；假设乙猜对，则丙、丁中必有一人对，所以假设不成立；假设丙猜对，则乙一定对，假设不成立；假设丁猜对，则甲、乙、丙都错，假设成立，故选：D．10.已知集合，集合，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的方差为________参考答案：2【分析】由题，先求得的值，再利用方差公式，将值带入求解即可.【详解】由题意知，又==2故答案为：2【点睛】本题考查了方差，熟悉平均数、方差的公式以及合理的运用是解题的关键，属于较为基础题.12.已知函数的定义域为，部分对应值如右图：的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：①函数是周期函数；②函数在［0，2］是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t的最小值为0；④函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是___________．参考答案：②③④略13.已知递减等差数列中，为等比中项，若为数列的前项和，则的值为

．参考答案：-1414.已知向量，如果，则实数_______.参考答案：15.若，，且，则的最小值为______.参考答案：试题分析：由可得，即，所以（当且仅当时取等号），即的最小值为.考点：基本不等式及灵活运用.【易错点晴】本题重在考查基本不等式的灵活运用.解答时先将条件进行合理变形得到，再依据该等式中变量的关系，解出用来表示，从而将欲求代数式中的两个变量消去一个，得到只含的代数式，然后运用基本不等式使其获解.这里要强调的是“一正、二定、三相等”是基本不等式的运用情境，也是学会运用基本不等式的精髓，这是运用好基本不等式的关键之所在.16.将边长为1米的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是________．参考答案：略17.等比数列满足，，则__________．参考答案：解：等比数列中，，，∴，解得：或（舍去）．∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以原点为极点，以x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的普通方程与极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，求圆C上的点到直线l的最大距离.参考答案：解：（1）圆的圆心为，半径，则普通方程为，其极坐标方程为，即（2）由得，化为，即，圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最大距离为.

19.（本小题满分12分）为了解某班学生关注NBA是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA的学生的概率为．(l)请将上面的列表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA与性别有关？说明你的理由．(2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA的人数为X，求X的分布列与数学期望．下面的临界值表仅供参考：参考答案：20.已知全集U＝R，非空集合．(1)当a＝时，求(CUB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

参考答案：（Ⅰ）{x|≤x＜}（Ⅱ）[?，)∪(

，]（Ⅰ）当a＝时A＝{x|2＜x＜}，B＝{x|＜x＜}，

CUB={x|x≤或x≥}，（CUB）∩A={x|≤x＜}．

（Ⅱ）由q是p的必要条件，即p?q，可知A?B．由a2+2＞a，得B={x|a＜x＜a2+2}．

①当3a+1＞2，即a＞时，A={x|2＜x＜3a+1}，再由

，解得

＜a≤．

②当3a+1=2，即a=时，A=?，不符合题意；

③当3a+1＜2，即a＜时，A={x|3a+1＜x＜2}，再由

，解得

?≤

a

＜．综上，a∈[?，)∪(

，]．

略21.如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈[﹣，]．综上x∈[﹣，0）∪（0，]．点M横坐标的取值范围：[﹣，0）∪（0，]．【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力．22.（本小题满分13分）设.（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，求实数的取值范围，使得对任意恒成立.参考答案：【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数解决不等式恒成立的问题。B11B12（1）（2）当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.（3）。

解析：（1），

……1分由导数的几何意义可知，，所以切线方程为：，即.…………3分（2），（其中），………4分当时，在上，此时在单调递增，当时，在上，此时在单调递减，在上，此时在单调递增；……………7分综上所述：当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.

………………8分

（3）当时，，不等式为，即，只需小于