湖南省怀化市二酉苗族乡中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省怀化市二酉苗族乡中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图像为

参考答案：A略2.已知函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x）=f（2﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上单调．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a2012），则{an}的前2017项之和为（）A．0 B．2017 C．2016 D．4034参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x）=f（2﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上单调．由f（a6）=f（a2012），可得a6+a2012=2，再利用等差数列的通项公式及其性质、求和公式即可得出．【解答】解：∵函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x）=f（2﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上单调．∵f（a6）=f（a2012），∴a6+a2012=2，又数列{an}是公差不为0的等差数列，∴a6+a2012=a1+a2017，则{an}的前2017项之和==2017×=2017．故选：B．3.设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.参考答案：C略4.点在直线上移动，则的最小值是（）A.8

B.6

C.

D.参考答案：C略5.若集合，则等于A．

B

C

DR参考答案：解法1利用数轴可得容易得答案B.解法2（验证法）去X=1验证.由交集的定义，可知元素1在A中，也在集合B中，故选B.6.函数的图像可由的图像向右平移A．个单位

B．个单位

C．个单位

D．个单位参考答案：D略7.在各项均为正数的等比数列中，是和的等差中项，且记是数列的前项和，则A．81

B．62

C．27

D．30参考答案：D8.已知sin+cos=，∈(0，)，则tan的值为

A．

B．

C．或

D．或参考答案：A略9.已知命题P：，则命题P的否定为A.

B.C.

D.参考答案：D10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8π B．π C．12π D．π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选D．【点评】本题综合考查了空间几何体的性质，学生的空间思维能力，构造思想，关键是镶嵌在常见的几何体中解决．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数（e是自然对数的底数）恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是

.参考答案：12.在锐角三角形ABC中，=______.参考答案：-2略13.已知函数，则______．参考答案：2，因为，所以．14.不等式的解集为_________________。参考答案：15.已知两点A（－1，2）、B（m，3），若实数，则直线AB的倾斜角a的范围为_________参考答案：16.已知函数对任意的，恒有.若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，则M的最小值为____.参考答案：略17.若曲线在点P处的切线平行于直线，则点的坐标为

▲

．参考答案：(1,0)设点的坐标为，则由;解得：代入得；.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数．(1)若在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；(2)讨论函数的单调区间；(3)若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明．参考答案：（I）由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0，+∞)，且．又∵f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，∴，解得a=-6．

（Ⅱ），由x>0，知>0．①当a≥0时，对任意x>0，>0，∴此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．②当a<0时，令=0，解得，当时，>0，当时，<0，此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，+∞)．

（Ⅲ）不妨设A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知，于是要证<0成立，只需证：即．∵，

①，

②①-②得，即，∴，故只需证，即证明，即证明，变形为，设，令，则，显然当t>0时，≥0，当且仅当t=1时，=0，∴g(t)在(0，+∞)上是增函数．又∵g(1)=0，∴当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证．19.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，已知侧面，为上的一点，

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）在线段是否存在一点，使得二面角大小为.若存在请求出E点所在位置，若不存在请说明理由。参考答案：解：因为侧面,侧面，故,在中,由余弦定理得：，所以，

……4

分

故,所以,而平面.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为

轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则，,.……7分所以设，所以得

则故.设平面的法向量为，……8分

则由,得,即，……10分

令，则，是平面的一个法向量.……12分

侧面,是平面的一个法向量，

.两边平方解得或=2（舍去）所以当E在的中点时二面角大小为.…………15分

20.已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）T（x）=ex（x+1﹣），求导T′（x）=ex（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=ex﹣2x；求导m′=ex﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，p（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x+，故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为p（x）＞0恒成立；从而化为最值问题．解答： 解：（Ⅰ）m=1﹣时，T（x）=ex（x+1﹣），n∈R，∴T′（x）=ex（x+1），①当n=0时，T′（x）=ex＞0，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；②当n＞0时，T′（x）=ex（x+）在（﹣，+∞）上为增函数，故T（x）在上为增函数，此时φ（n）=T（1）=e；

③当n＜0时，T′（x）=ex（x+），T（x）在（﹣∞，﹣）上为增函数，在（﹣，+∞）上为减函数，若0＜﹣＜1，即n＜﹣2时，故T（x）在上为增函数，在上为减函数，此时φ（n）=T（﹣）=（﹣1+m）=﹣?，若﹣≥1﹣2≤n＜0时，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；∴综上所述：φ（n）=；

（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣2x﹣m，∴F′（x）=ex﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；

∴F（x）=ex﹣2x﹣m在上恰有两个相异实根，∴，解得2﹣2ln2＜m≤1，∴实数m的取值范围是{m|2﹣2ln2＜m≤1}；（Ⅲ）由题设：?x∈R，p（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x+＞0，（*），∵p′（x）=ex﹣，∴p（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；在（ln，+∞）上单调递增，∴（*）?p（x）min=p（ln）=﹣ln+=（n﹣nln+15）＞0，设h（x）=x﹣xln+15=x﹣x（lnx﹣ln2）+15，则h′（x）=1﹣ln﹣1=﹣ln，∴h（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，而h（2e2）=15﹣2e2＞0，且h（15）=15（lne2﹣ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使h（x0）=0，且x∈21.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知，求的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．参考答案：（1）（2）22.（本小题满分12分）设函数．(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数的单调性；(Ⅲ)当时，设函数，若对于，，使成立，求实数的取值范围.参考答案：函数的定义域为，

(Ⅰ)当时，，

∴在处的切线方程为

(Ⅱ) ，的定义域为 当时，，的增区间为，减区间为

当时，

，的增区间为，减区间为 ，

，在