湖南省常德市城南中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

湖南省常德市城南中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设、满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为A.

B.3

C.2

D.4参考答案：C略2.已知函数f（x）=，则y=f（x）的大致图象为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】化简解析式，利用函数的单调性，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）==1﹣，因为函数y=e2x，是增函数，所以函数f（x）=，是增函数，可知函数的图象只有B满足题意．故选：B．3.设函数，若是奇函数，则当x时，的最大值是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.函数（其中A>0,）的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（

）A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

参考答案：A5.复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D本题考查了复数的除法运算以及几何意义，难度较小。，所以复数所对应的点在第四象限，故选D.6.已知，则等于A.

B.

C.

D.参考答案：C，选C.7.设随机变量的分布列为（=0，1），则，的值分别是（

）A．0和1

B．和

C．和

D．和·参考答案：D8.已知，则A.

B.

C.

D.参考答案：A9.若一元二次不等式的解集为，则的最小值是（A）

（B）

（C）2

（D）1

参考答案：A10.如果直线l与直线3x+y－2=0平行，那么直线l的斜率是A．3 B．－3 C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，，令⊙，下面说法错误的是(

)（A）若与共线，则⊙ （B）⊙⊙（C）对任意的，有⊙⊙（D）⊙

参考答案：B12.比较lg2，（lg2）2，lg（lg2）的大小，其中最大的是

，最小的是

．参考答案：lg2，lg（lg2）．由lg2∈（0，1），0＜（lg2）2＜lg2，lg（lg2）＜0，即可得出大小关系．解：∵lg2∈（0，1），0＜（lg2）2＜lg2，lg（lg2）＜0，∴最大的是lg2，最小的是lg（lg2）．故答案分别为：lg2，lg（lg2）．13.参考答案：略14.函数的定义域为

．参考答案：(0,1]，解得定义域为。

15.对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是▲参考答案：答案：2n+1-2解析：，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-216.点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则该球的表面积为

.参考答案：17.若集合，，则

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}是等比数列，并且a1，a2+1，a3是公差为﹣3的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，证明：．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1，a2+1，a3是公差为﹣3的等差数列，∴，即，解得．∴．

（Ⅱ）证明：∵，∴数列{bn}是以b1=a2=4为首项，为公比的等比数列．∴=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（本题满分13分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设,讨论的单调性;(Ⅲ)已知且,证明:参考答案：【知识点】导数的几何意义；导数的应用；不等式的证明.

B11

B12

E7（Ⅰ）1；(Ⅱ)在区间和都是单调递增的，此函数无减区间；(Ⅲ)证明：见解析.

解析：（Ⅰ）

所以……1分由题意,得……3分(Ⅱ)，所以……4分设当时，，是增函数，，所以，故在上为增函数；

……………5分当时，，是减函数，，所以，故在上为增函数；所以在区间和都是单调递增的。

……………8分(Ⅲ)因为，由（Ⅱ）知成立，即，………9分从而，即………12分

所以。………13分【思路点拨】（Ⅰ）、由导数的几何意义得，解得m值；(Ⅱ)、定义域上导函数大于零的x范围是增区间，导函数小于零的x范围是减区间；(Ⅲ)、由(Ⅱ)知在上单调递增，而，所以，即.【典例剖析】综合法是证明不等式的常用方法，但寻找推证不等式的基础不等式比较困难.本题第(Ⅲ)问的证明，采用了第(Ⅱ)问的结论：函数在上单调递增，从而得，由此变形、拆项，再用对数函数的性质证得结论,总的来说这是一个较典型的考题.20.已知二次函数对都满足且，设函数（，）．（1）求的表达式；（2）若，使成立，求实数的取值范围；（3）设，，求证：对于，恒有.参考答案：解：（1）设，于是，所以

又，则．所以.

（2）当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；当m=0时，对，恒成立；

当m<0时，由，列表：x－0＋递减极小值递增

这时

，

综上，使成立，实数m的取值范围．（3）由题知因为对，所以在内单调递减.于是记，则所以函数在是单调增函数，

所以，故命题成立.略21.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边,面积（1）求角C的大小；（2）设函数，求的最大值,及取得最大值时角B的值．参考答案：（1）；（2）时，有最大值是．试题分析：（1）由S=abs1nC及题设条件得abs1nC=abcosC,即s1nC=cosC,tanC=,根据0<<,即得．（2）首先化简，根据C=得到，当，即时，有最大值是．试题解析：（1）由S=abs1n及题设条件得abs1n=abcos

1分即s1n=cos,tan=,

2分0<<,

4分（2）

7分，

9分∵=∴

∴

（没讨论，扣1分）

10分当，即时，有最大值是

12分考点：1．和差倍半的三角函数；2．三角形的面积；3．三角函数的图象和性质．22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），曲线的参数方程为（参数）。（1）化曲线的参数方程为普通方程，并指出它表示的