湖南省娄底市坪溪中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析

湖南省娄底市坪溪中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B． C．2 D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程的焦点坐标，求解渐近线方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线=1的焦点（，0），渐近线，双曲线=1的焦点到渐近线的距离为：=．故选：B．2.若不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）

A．

B。

C。

D。参考答案：A解析：3.右面程序输出的结果是(

)

A.66

B.65

C.55

D.54参考答案：D4.如图，在梯形ABCD中，，，P是BC中点，则（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】由平面向量基本定理及线性运算可得：，得解.【详解】因为是中点，所以.故选D.【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属基础题.5.曲线上一点处的切线方程是(

)A.

B.

C.D.参考答案：C6.下列命题正确的是()A．单位向量都相等B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1参考答案：C7.若函数的零点为，若,则f(m)的值满足（

）A.

B.

C.

D.f(m)的符号不确定参考答案：B，y=在区间都是减函数，在区间都是减函数，函数的零点为，即当时，，故选B.

8.设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是(

)A．(0,1]∪[4,+∞) B．C．(0,1]∪[9,+∞) D．参考答案：C9.已知过曲线（为参数，且）上一点P和原点O的直线PO的倾斜角为，则点P的坐标是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B10.设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（）

A．1

B．

C．

D．参考答案：A，于是切线的斜率，∴有二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第________象限．

参考答案：二【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】解：∵z=（1+i）+（﹣2+2i）=﹣1+3i，

∴z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，3），位于第二象限．

故答案为：二．

【分析】利用复数代数形式的加减运算化简，求出z的坐标得答案．

12.已知定义在上的奇函数，当时有，则当时

.参考答案：13.为了调查本校高中男生的身高情况，在高中男生中随机抽取了80名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下：估计该高中男生身高的平均数为_____cm，估计该高中男生身高的中位数为_____cm.（精确到小数点后两位数字）参考答案：174.75

175.31略14.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为

.参考答案：15.在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是．参考答案：0.768【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．由此能求出在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率．【解答】解：至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是p=0.83+0.82×0.2+0.2×0.82=0.768．∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768．故答案为：0.768．16.已知函数f(x)=在(－2,+)内单调递减，则实数a的取值范围

参考答案：略17.双曲线y2﹣2x2=8的渐近线方程为

．参考答案：

【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及a、b的值，利用双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：y2﹣2x2=8，变形可得﹣=1，则其焦点在y轴上，且a==2，b==2，则其渐近线方程为，故其答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，需要先将双曲线的方程变形为标准方程．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知为复数，为纯虚数，，且，求．参考答案：解：设，则∵为纯虚数，∴（3分）且,不同时为0而（5分）ks5u又∵，，∴，即∴．（8分）ks5u当=5时，=15，；当=－5时，=－15，．（10分）略19.（本小题满分14分）已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；（Ⅲ）证明：参考答案：解：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，……………4分

（2），①②②—①得，即③④④—③得，即所以数列是等差数列……………10分（3）设，则…………14分略20.已知f（x）=﹣x2﹣lnx，设曲线y=f（x）在x=t（0＜t＜2）处的切线为l．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）求切线l的倾斜角θ的取值范围；（3）证明：当x∈（0，2）时，曲线y=f（x）与l有且仅有一个公共点．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求解定义域，导数f'（x）=﹣x﹣，判断f'（x）＜0，求解单调区间．（2）求解导数的取值范围f'（t）＜﹣1，利用几何意得出切线的斜率范围为（﹣∞，﹣1），再根据三角函数判断即可．（3）构造g（x）=f（x）﹣[f'（t）（x﹣t）+f（t）]，则g'（x）=f'（x）﹣f'（t），二次构造h（x）=，则当x∈（0，2）时，＞0，运用导数判断单调性求解即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），由f（x）=﹣lnx，得f'（x）=﹣x﹣，∴f'（x）＜0，于是f（x）在（0，+∞）上是减函数；（2）由（1）知，切线l的斜率为，t＞0，∴≤﹣2=﹣1，（当且仅当，即t=2时取“=”）∵0＜t＜2，∴f'（t）＜﹣1，即切线的斜率范围为（﹣∞，﹣1），∴l的倾斜角θ的取值范围为（，）．（3）证明：曲线y=f（x）在x=t处的切线方程为y=f'（t）（x﹣t）+f（t）．设g（x）=f（x）﹣[f'（t）（x﹣t）+f（t）]，则g'（x）=f'（x）﹣f'（t），于是g（t）=0，g'（t）=0．设h（x）=，则当x∈（0，2）时，＞0，∴g'（x）在（0，2）上是增函数，且g'（t）=0，∴当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，t）上是减函数；当x∈（t，2）时，g'（x）＞0，g（x）在（t，2）上是增函数，故当x∈（0，t）或x∈（t，2），g（x）＞g（t）=0，∴当且仅当x=t时，f（x）=f'（t）（x﹣t）+f（t），即当x∈（0，2）时，曲线y=f（x）与l有且仅有一个公共点．21.（16分）已知直线l为函数y=x+b的图象，曲线C为二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，直线l与曲线C交于不同两点A，B（Ⅰ）当b=7时，求弦AB的长；（Ⅱ）求线段AB中点的轨迹方程；（Ⅲ）试利用抛物线的定义证明：曲线C为抛物线．参考答案：【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）当b=7时，直线y=x+7代入y=（x﹣1）2+2，求出A，B的坐标，即可求弦AB的长；（Ⅱ）把y=x+b代入y=（x﹣1）2+2，利用韦达定理，即可求线段AB中点的轨迹方程；（Ⅲ）证明：曲线C上的任一点M到点（1，）与到直线y=的距离相等，即可确定曲线C为抛物线．【解答】解：（I）把直线y=x+7代入y=（x﹣1）2+2，得或，即A（﹣1，6），B（4，11），所以|AB|=5；…（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）把y=x+b代入y=（x﹣1）2+2，得x2﹣3x+3﹣b=0…由韦达定理x1+x2=3，△=32﹣4（3﹣b）＞0，b＞所以，，…所以线段AB中点的轨迹方程；…（III）可以证明曲线C上的任一点M到点（1，）与到直线y=的距离相等．或设曲线C上的任一点M（x，y）到点（1，m）的距离等于到直线y=n的距离，…即，又y=（x﹣1）2+2，整理得（1﹣2m）y+m2﹣2=﹣2ny+n2，所以，解得m=，n=；…（14分）所以曲线C上的