湖北省武汉市解放中学2022年高三数学理联考试卷含解析

湖北省武汉市解放中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示。若高校某专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报高校该专业的人数为

A．10 B．20

C．8 D．16参考答案：A2.已知,则大小关系为：

A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.设集合A={x|﹣2≤x≤2}，集合B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，2] C．（﹣∞，2]∪（3，+∞） D．[﹣2，﹣1）参考答案：C【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3．∴B={x|x＜﹣1或x＞3}=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）又集合A={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]，∴A∪B=（﹣∞，2]∪（3，+∞）故选：C4.若向量，，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A5.双曲线（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若轴，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.函数的图像大致是（

）

参考答案：A试题分析：，所以函数为偶函数，所以排除C、D，令时，，所以排除B，所以答案为A.考点：函数图象.8.函数f（x）=是（）A．偶函数，在（0，+∞）是增函数 B．奇函数，在（0，+∞）是增函数C．偶函数，在（0，+∞）是减函数 D．奇函数，在（0，+∞）是减函数参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数的定义域为R，然后利用定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，利用2x的单调性判断f（x）单调性．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）==﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；又y=2x为增函数，y=﹣2﹣x为增函数，∴f（x）为增函数；故选B．【点评】本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定．9.将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为（A）

（B）

（C）

（D）1440参考答案：A第一步先将5人分成3组，再全排，有种，第二步，另两个空房间插空，有种，总共有=900种，故选A10.已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a等于（）A．﹣500.5 B．﹣501.5 C．﹣502.5 D．﹣503.5参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】令F（x）=x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，F（x）的单调区间和极值点，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，求得f（x）在（1，2）处的切线方程，再由g（a）=2016，解方程可得a的值．【解答】解：令F（x）=x2f（x），由（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x2f′（x）＞0，即F（x）递增；当0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x2f′（x）＜0，即F（x）递减．即有x=1处为极值点，即为F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y﹣2=﹣4（x﹣1），即有g（x）=6﹣4x，由g（a）=2016，即有6﹣4a=2016，解得a=﹣502.5．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.．在等差数列中，已知，则该数列前项和

．参考答案：12.已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为．参考答案：【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为1，∴母线长l为：=，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×1×=π，故答案为：π．【点评】题考查了圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．13.函数f（x）=a（x+2）2﹣1（a≠0）的图象的顶点A在直线mx+ny+1=0上，其中m?n＞0，则的最小值为

．参考答案：8【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据二次函数求出顶点坐标，然后代入直线方程可得2m+n=1，然后中的1用2m+n代入，2用4m+2n代入化简，利用基本不等式可求出最小值．【解答】解：由题意可得顶点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．14.已知函数，，则

。参考答案：略15.如果，那么

.参考答案：16.函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数m的取值范围是

．参考答案：作出的图象，与交点个数就是方程的个数，由图知，点当时，，，当直线与相切时，设切点，则，得，当直线由绕点转至切线过程中，与由四个交点，所以的取值范围是

17.已知在△ABC中，C=，AB=6，则△ABC面积的最大值是_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）ks5u

如图,几何体SABC的底面是由以AC为直径的半圆O与△ABC组成的平面图形，平面ABC,,SA=SB=SC=AC=4,BC=2.

(l)求直线SB与平面SAC所威角的正弦值；ks5u

(2)求几何体SABC的正视图中的面积；

(3)试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得，若存在，说明点P的位置并

证明；若不存在，说明理由．参考答案：解：（1）过点作于点，连接.

…………1分

因为，，

所以.

…………2分

又因为，，

所以，

即就是直线与平面所成角.

…………3分

在中，因为，，，

所以，.

…………4分

在中，因为，

所以，即直线与平面所成角的正弦值为.

…………5分（2）由（1）知，几何体的正视图中，的边，而，所以.

…………6分又的边上的高等于几何体中的长，而，所以，

…………7分

所以.

…………8分（3）存在.

…………9分证明如下：如图，连接并延长交弧于点，

在底面内，过点作交弧于点.………10分

所以.

而，所以.

…………11分

又因为，，

所以，从而.

…………12分又因为，所以有，所以，，

…………13分即点位于弧的三等分的位置，且.

…………14分19.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间及其在处的切线方程；（Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值．参考答案：（1）解：因为，令，得；令，得；所以的递增区间为，的递减区间为．…………3分因为，所以函数的图像在处的切线方程；…………5分（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………6分ks5u令，则，……7分令，则，所以函数在上单调递增．………8分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，…10分所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．…………12分所以．故整数的最大值是3．………13分

略20.已知函数，其中．（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.参考答案：解：(Ⅰ)由可知，函数定义域为，且.由题意，，解得.……………4分（Ⅱ）.

令，得，.（1）当时，，令，得;令，得.则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当，即时，令，得或.则函数的单调递增区间为，.令，得.则函数的单调递减区间为.（3）当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.（4）当，即时，令，得或，则函数的单调递增区间为，.令，得.则函数的单调递减区间为.

……13分

略21.已知a＞0，b＞0，记A=+，B=a+b．（1）求A﹣B的最大值；（2）若ab=4，是否存在a，b，使得A+B=6？并说明理由．参考答案：【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）代入配方利用二次函数的单调性即可得出最大值；（2）假设存在a，b，使得A+B=6，则，令=x＞0，=y＞0，化为，令x+y=t＞0，化为t2+t﹣10=0，判断此方程是否有实数根即可得出．【解答】解：（1）A﹣B=+﹣a﹣b=﹣﹣+1≤1，当且仅当a=b=时取等号．∴A﹣B的最大值是1．（2）假设存在a，b，使得A+B=6，则，令=x＞0，=y＞0，化为，令x+y=t＞0，化为t2+t﹣10=0，∵△=1+40=41＞0，且t1t2=﹣10＜0．∴上述方程有正实数根，因此存在a，b，使得A+B=6，ab=4同时成立．22.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组[29.86，29.90）[29.90，29.94）[29.94，29.98）[29.98，30.02）[30.02，30.06）[30.06，30.10）[30.10，30.14）频数12638618292614乙厂：分组[29.86，29.90）[29.90，29.94）[29.94，29.98）[29.98，30.02）[30.02，30.06）[30.06，30.10）[30.10，30.14）频数297185159766218（1）

试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）

由以上统计数据填下面列联表，并问是否有的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

甲厂乙厂合计优质品

非优质品

合计

附：w