第十章重积分

个人采集整理仅供参照学习第十章重积分教课目标：1.理解二重积分、三重积分的观点，认识重积分的性质，知道二重积分的中值定理。掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教课要点：1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教课难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。§91二重积分的观点与性质一、二重积分的观点曲顶柱体的体积设有一立体它的底是xOy面上的闭地域D它的侧面是以D的界线曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf(xy)这里f(xy)0且在D上连续这类立体叫做曲顶柱体现在我们来议论怎样计算曲顶柱体的体积资料个人采集整理，勿做商业用途第一用一组曲线网把D分成n个小地域12n分别以这些小闭地域的界线曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把本来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(ii)以f(ii)为资料个人采集整理，勿做商业用途高而底为i的平顶柱体的体积为f(ii)i(i12n)这个平顶柱体体积之和nVf(i,i)ii1能够以为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将切割加密只要取极限即nVlimf(i,i)i0i1此中是个小地域的直径中的最大值2平面薄片的质量设有一平面薄片据有xOy面上的闭地域D它在点(xy)处的面密度为(xy)这里(xy)0且在D上连续现在要计算该薄片的质量M资料个人采集整理，勿做商业用途用一组曲线网把D分成n个小地域1/17个人采集整理仅供参照学习12n把各小块的质量近似地看作平均薄片的质量(ii)i各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值nM(i,i)ii1将切割加细取极限获得平面薄片的质量nMlim(i,i)i0i1此中是个小地域的直径中的最大值定义设f(xy)是有界闭地域D上的有界函数将闭地域D任意分成n个小闭地域12n此中i表示第i个小地域也表示它的面积在每个i上任取一点(ii)作和nf(i,i)ii1若是当各小闭地域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)f(x,y)d在闭地域D上的二重积分记作D即资料个人采集整理，勿做商业用途f(x,y)dlimnf(i,i)iD0i1f(xy)被积函数f(xy)d被积表达式d面积元素xy积分变量D积分地域积分和直角坐标系中的面积元素若是在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包括界线点的一些小闭区域外其他的小闭地域都是矩形闭地域设矩形闭地域i的边长为xi和yi则ixiyi所以在直角坐标系中有时也把面积元素d记作dxdy而把二重积分记作资料个人采集整理，勿做商业用途f(x,y)dxdyD此中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的存在性当f(xy)在闭地域D上连续时积分和的极限是存在的也就是说函数f(xy)在D上的二重积分必定存在我们总假定函数f(xy)在闭地域D上连续所以f(xy)在D上的二重积分都是存在的资料个人采集整理，勿做商业用途二重积分的几何意义若是f(xy)0被积函数f(xy)可讲解为曲顶柱体的在点(xy)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积若是f(xy)是负的柱体就在xOy面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的资料个人采集整理，勿做商业用途二二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则[c1f(x,y)c2g(x,y)]dc1f(x,y)dc2g(x,y)dDDD性质2若是闭地域D被有限条曲线分为有限个部分闭地域则在D上的二重积分等于在各部2/17个人采集整理仅供参照学习分闭地域上的二重积分的和比方D分为两个闭地域D1与D2则资料个人采集整理，勿做商业用途f(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D21dd性质3DD(为D的面积)性质4若是在D上f(xy)g(xy)则有不等式f(x,y)dg(x,y)dDD特别地有|f(x,y)d||f(x,y)|dDD性质5设M、m分别是f(xy)在闭地域D上的最大值和最小值为D的面积则有mf(x,y)dMD性质6(二重积分的中值定理)设函数f(xy)在闭地域D上连续为D的面积则在D上最少存在一点()使得资料个人采集整理，勿做商业用途f(x,y)df(,)D§92二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分型地域D1(x)y2(x)axbY型地域D1(x)y2(x)cyd混杂型地域设f(xy)0D{(xy)|1(x)y2(x)axb}f(x,y)d此时二重积分D在几何上表示以曲面zf(xy)为顶以地域D为底的曲顶柱体的体积关于x0[ab]曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0)2(x0)]为底、以曲线zf(x0y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为资料个人采集整理，勿做商业用途2(x0)f(x0,y)dyA(x0)1(x0)依据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为bb2(x)VaA(x)dxa[1(x)f(x,y)dy]dxf(x,y)db2(x)[f(x,y)dy]dx即VDa1(x)可记为3/17个人采集整理仅供参照学习f(x,y)db2(x)f(x,y)dydx1(x)Da近似地若是地域D为Y型地域D1(x)y2(x)cyd则有f(x,y)dd2(y)dy1(y)f(x,y)dxDcxyd例1计算D解画出地域方法一可把

此中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭地域DD看作是X型地域1x21yx于是xyd2[xxydy]dx2y2121[x4x29]xdx(x3x)dxD11[x]21212124218xyd2x2xdxxydyxdxydy注积分还能够写成D1111解法2也可把D看作是Y型地域1y2yx2于是22x2y3y4Dxyd[xydx]dy2222291y1[y21(2y288y1x2y2d例2计算D此中D是由直线y1、x1及yx所围成的闭地域解画出地域D可把D看作是X型地域1x1xy1于是y1x2y2d11y2dydxy1x2D1x112231113xy)21)dx3[(1]xdx3(|x|112131)dx1(x230也可D看作是Y型地域：1y11x<y于是y1x2y2d1ydyy1x2y2dx1D1xyd2及抛物线y2例3计算D此中D是由直线yxx所围成的闭地域解积分地域能够表示为DD1+D2此中D1:0x1,xyxD2:1x4,2yx于是xyd1xxydy4xdxxdxxydyD01x2积分地域也能够表示为D1y2y2xy2于是4/17个人采集整理仅供参照学习xyd2dyy2xydx2x2y2121y2dy2)2y5]dyD[2y]y22[y(y111y44y32y2y62552[3]1846议论积分次序的选择例4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y22及x2z22利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1尔后再乘以8就行了第一卦限部分是以D{(xy)|0yR2x2,0x}为底以zR2x2顶的曲顶柱体于是V8R2x2dRR2x2R2y]022D8dxR2x2dy8[R2xRxdx000R8(R2x2)dx16R303二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分地域D的界线曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变f(x,y)d量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分D资料个人采集整理，勿做商业用途nf(x,y)dlimf(i,i)i按二重积分的定义D0i1下边我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族齐心圆组成的网将地域D分为n个小闭地域小闭地域的面积为资料个人采集整理，勿做商业用途i1(ii)2i2i(ii)i2i

12

2iii

1(2ii)ii2此中i表示相邻两圆弧的半径的平均值在i内取点(i,i)设其直角坐标为(ii)则有iicosiiisininnlimf(i,i)ilimf(icosi,isini)iii于是0i10i1f(x,y)df(cos,sin)dd即DD若积分地域D可表示为5/17个人采集整理仅供参照学习1()2()f(cos,sin)ddd2()f(cos,sin)d1()则D议论怎样确立积分限?f(cos,sin)ddd()f(cos,sin)d0Df(cos,sin)dd2()f(cos,sin)dd0D0ex2y2dxdy例5计算D此中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭地域解在极坐标系中闭地域D可表示为0a02ex2y2dxdye2dd2[ae2d]d21e2a于是DD00[2]0d01(1ea2)2d(1ea2)20ex2y2dxdyex2y2dxdy注此处积分D也常写成x2y2a2ex2y2dxdy(1ea2)ex2利用x2y2a2计算广义积分dx0设D1{(xy)|x2y2R2x0y0}222x0y0}D2{(xy)|xy2RS{(xy)|0xR0yR}显然D1SD2因为ex2y20从则在这些闭地域上的二重积分之间有不等式ex2y2dxdyex2y2dxdyex2y2dxdyD1SD2ex2y2dxdyRex2dxRey2dy(Rex2dx)2因为S000又应用上边已得的结果有ex2y2dxdy4(1eR2)ex2y2dxdy(1e2R2)D1D24(1eR2)(Rex2dx)2(1e2R2)于是上边的不等式可写成404令R上式两端趋于同一极限4进而0ex2dx2例6求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积资料个人采集整理，勿做商业用途解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍6/17个人采集整理仅供参照学习V44a2x2y2dxdyD此中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭地域在极坐标系中D可表示为02acos02V44a22dd42d2acos4a22d0于是D032a22(1sin3)d322(2)303a23§93三重积分一、三重积分的观点定义设f(xyz)是空间有界闭地域上的有界函数将任意分成n个小闭地域v1v2vn此中vi表示第i个小闭地域也表示它的体积在每个vi上任取一点(iii)作乘积nf(i,i,i)vif(iii)vi(i12n)并作和i1若是当各小闭地域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重积分记作f(x,y,z)dv即资料个人采集整理，勿做商业用途nf(x,y,z)dvlimf(i,i,i)vi0i1三重积分中的有关术语——积分号f(xyz)——被积函数f(xyz)dv——被积表达式dv体积元素xyz——积分变量——积分地域资料个人采集整理，勿做商业用途在直角坐标系中若是用平行于坐标面的平面来划分则vixiyizi所以也把体积元素记为dvdxdydz三重积分记作资料个人采集整理，勿做商业用途f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydzn当函数f(xyz)在闭地域limf(i,i,i)vi上连续时极限0i1是存在的所以f(xyz)在上的三重积分是存在的今后也总假定f(xyz)在闭地域上是连续的三重积分的性质与二重积分近似比方[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv12127/17个人采集整理仅供参照学习dvV此中V为地域的体积二、三重积分的计算利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算三重积分也可化为三次积分来计算设空间闭地域可表为z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axbf(x,y,z)dvz2(x,y)[f(x,y,z)dz]d则Dz1(x,y)by2(x)z2(x,y)dx[f(x,y,z)dz]dyay1(x)z1(x,y)by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dzdxdyz1(x,y)ay1(x)by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dzf(x,y,z)dvdxdyz1(x,y)即ay1(x)此中D:y1(x)yy2(x)axb它是闭地域在xOy面上的投影地域提示设空间闭地域可表为z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axbf(x,y,z)dv计算基本思想关于平面地域Dy1(x)yy2(x)axb内任意一点(xy)将f(xyz)只看作z的函数在区间[z1(xy)z2(xy)]上对z积分获得一个二元函数F(xy)资料个人采集整理，勿做商业用途F(x,y)z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz尔后计算F(xy)在闭地域D上的二重积分这就完成了f(xyz)在空间闭地域上的三重积分z2(x,y)by2(x)z2(x,y)F(x,y)d[f(x,y,z)dz]ddx[f(x,y,z)dz]dyDz1(x,y)Day1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dvz2(x,y)[f(x,y,z)dz]d则Dz1(x,y)by2(x)z2(x,y)dx[f(x,y,z)dz]dyay1(x)z1(x,y)by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dzdxdyz1(x,y)ay1(x)by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dzf(x,y,z)dvdxdyz1(x,y)即ay1(x)此中D:y1(x)yy2(x)axb它是闭地域在xOy面上的投影地域xdxdydz例1计算三重积分此中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭地域8/17个人采集整理仅供参照学习解作图地域可表示为:0z1x0y1(1x)x12y2011x1x2yxdxdydz2dxdyxdz于是00011xxdx2(1x2y)dy00112x23)dx1(xx4048议论其他种类地域呢?有时我们计算一个三重积分也能够化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭地域{(xyz)|(xy)Dzc1zc2}此中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭地域所获得的一个平面闭地域则有资料个人采集整理，勿做商业用途f(x,y,z)dvc2f(x,y,z)dxdydzc1Dzz2dxdydzx2y2z21例2计算三重积分此中是由椭球面a2b2c2所围成的空间闭地域解空间地域可表为:x2y21z2a2b2c2czccz2dzdxdyz2dxdydzcz243cabc(12dz于是Dzc2)z15abc练习If(x,y,z)dxdydz1将三重积分化为三次积分此中是由曲面z1x2y2z0所围成的闭地域是双曲抛物面xyz及平面xy10z0所围成的闭地域(3)此中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭地域If(x,y,z)dxdydz2将三重积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式此中由曲面z1x2y2z0所围成的闭地域资料个人采集整理，勿做商业用途利用柱面坐标计算三重积分设M(xyz)为空间内一点并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P()则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标这里规定、、z的变化范围为资料个人采集整理，勿做商业用途0<02<z<坐标面00zz0的意义点M的直角坐标与柱面坐标的关系9/17个人采集整理仅供参照学习xcosysinxcosysinzzzz柱面坐标系中的体积元素dvdddz简单来说dxdydddxdydzdxdydzdddz柱面坐标系中的三重积分f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddzzdxdydz例3利用柱面坐标计算三重积分此中是由曲面22与平面z4所围成的zxy闭地域解闭地域可表示为2z40202zdxdydzzdddz于是22410d0d2zdz212[8216]2642603

224)dd(1600利用球面坐标计算三重积分设M(xyz)为空间内一点则点M也可用这样三个有次序的数r、、来确立此中r为原点O与点M间的距离为OM与z轴正向所夹的角为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角这里P为点M在xOy面上的投影这样的三个数r、、叫做点M的球面坐标这里r、、的变化范围为资料个人采集整理，勿做商业用途0r<0<02坐标面rr000的意义点M的直角坐标与球面坐标的关系xrsincosyrsinsinxrsincosyrsinsinzrcoszrcos球面坐标系中的体积元素dvr2sindrdd球面坐标系中的三重积分f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd例4求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积解该立体所占地域可表示为0r2acos002于是所求立体的体积为10/17个人采集整理仅供参照学习Vdxdydzr2sindrdd2sind2acos2drr00

2d2acos2sindrdr00016a3cos3sind4a3(1cos4a)303提示球面的方程为x2y2(za)2a2即x2y2z22az在球面坐标下此球面的方程为r22arcos即r2acos资料个人采集整理，勿做商业用途§94重积分的应用元素法的实行有好多求总量的问题能够用定积分的元素法来办理这类元素法也可实行到二重积分的应用中若是所要计算的某个量U关于闭地域D拥有可加性(就是说当闭地域D分成好多小闭区域时所求量U相应地分成好多部重量且U等于部重量之和)而且在闭地域D内任取一个直径很小的闭地域d时相应的部重量可近似地表示为f(xy)d的形式此中(xy)在d内则称f(xy)d为所求量U的元素记为dU以它为被积表达式在闭地域D上积分资料个人采集整理，勿做商业用途Uf(x,y)dD这就是所求量的积分表达式一、曲面的面积设曲面S由方程zf(xy)给出D为曲面S在xOy面上的投影地域函数f(xy)在D上拥有连续偏导数fx(xy)和fy(xy)现求曲面的面积A资料个人采集整理，勿做商业用途在地域D内任取一点P(xy)并在地域D内取一包括点P(xy)的小闭地域d其面积也记为d在曲面S上点M(xyf(xy))处做曲面S的切平面T再做以小地域d的界线曲线为准线、母线平行于z轴的柱面将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值记为dA又设切平面T的法向量与z轴所成的角为则资料个人采集整理，勿做商业用途dAd1fx2(x,y)fy2(x,y)dcos这就是曲面S的面积元素于是曲面S的面积为A1fx2(x,y)fy2(x,y)dDA1(z)2(z)2dxdy或Dxy设dA为曲面S上点M处的面积元素dA在xOy面上的投影为小闭地域dM在xOy面上的投影为点P(xy)因为曲面上点M处的法向量为n(fxfy1)所以资料个人采集整理，勿做商业用途dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d提示dA与xOy面的夹角为(n^k)dAcos(n^k)dnk|n|cos(n^k)1cos(n^k)|n|

1议论若曲面方程为xg(yz)或yh(zx)则曲面的面积怎样求？11/17个人采集整理仅供参照学习A1(x)2(x)2dydzDyzyzA1(y)2(y)2dzdx或Dzxzx此中Dyz是曲面在yOz面上的投影地域Dzx是曲面在zOx面上的投影地域例1求半径为R的球的表面积解上半球面方程为zR2x2y2x2y2R2因为z对x和对y的偏导数在Dx2y2R2上无界所以上半球面面积不能够直接求出所以先求222(aR)上的部分球面面积尔后取极限资料个人采集整理，勿做商业用途在地域D1xyaRdxdyR2dardra2R2x2y2x2y200R2r22R(RR2a2)lim2R(RR2a2)2R2于是上半球面面积为aR整个球面面积为A2A14R2提示zxy2zy1(z)2(z)2RxR2x2yR2x2y2xyR2x2y2解球面的面积A为上半球面面积的两倍上半球面的方程为zR2x2y2而zxzyxR2x2y2yR2x2y2A21(z)2(z)2所以x2y2R2xy2Rdxdy2R2RdR22y2d022x2y2R20Rx4R22R4R2R0例2设有一颗地球同步轨道通信卫星距地面的高度为h36000km运转的角速度与地球自转的角速度同样试计算该通信卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)资料个人采集整理，勿做商业用途解取地心为坐标原点地心到通信卫星中心的连线为z轴建立坐标系通信卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分的方程为R2x2y2x2y2R2sin2于是通信卫星的覆盖面积为12/17个人采集整理仅供参照学习A1(z)2(z)2dxdyRdxdyDxyxyDxyR2x2y2此中Dxy{(xy)|x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影地域利用极坐标得2RsinRd2RRsind2R2(1cos)Ad00R220R22cosRRh代入上式得因为A2R2(1R)2R2hRhRh由此得这颗通信卫星的覆盖面积与地球表面积之比为Ah3610642.5%4R22(Rh)2(366.4)106由以上结果可知卫星覆盖了全世界三分之一以上的面积故使用三颗相隔就可以覆盖几乎地球所有表面资料个人采集整理，勿做商业用途二、质心

2角度的通信卫星设有一平面薄片据有xOy面上的闭地域D在点P(xy)处的面密度为(xy)假定(xy)在D上连续现在要求该薄片的质心坐标资料个人采集整理，勿做商业用途在闭地域D上任取一点P(xy)及包括点P(xy)的素来径很小的闭地域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为资料个人采集整理，勿做商业用途dMxy(xy)ddMyx(xy)d平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为Mxy(x,y)dMyx(x,y)dDD设平面薄片的质心坐标为(x,y)平面薄片的质量为M则有xMMyyMMx于是Myx(x,y)dy(x,y)dDyMxDx(x,y)dM(x,y)dMDD在闭地域D上任取包括点P(xy)小的闭地域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为dMxy(xy)ddMyx(xy)d平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为Mxy(x,y)dMyx(x,y)dDD设平面薄片的质心坐标为(x,y)平面薄片的质量为M则有13/17个人采集整理仅供参照学习xMMyyMMx于是MyDx(x,y)dMxy(x,y)dxyDM(x,y)dM(x,y)dDD提示将P(xy)点处的面积元素d看作是包括点P的直径得小的闭地域D上任取一点P(xy)及包括的素来径很小的闭地域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为资料个人采集整理，勿做商业用途议论若是平面薄片是平均的即面密度是常数则平面薄片的质心(称为形心)怎样求？求平面图形的形心公式为xdydxDyDddDD例3求位于两圆2sin和4sin之间的平均薄片的质心解因为闭地域D对称于y轴所以质心C(x,y)必位于y轴上于是x0yd2sindd4sin2d7因为DD0sind2sind22123Dyd77yDd33所以D所求形心是

C(0,7)3近似地据有空间闭地域、在点(xyz)处的密度为(xyz)(假宽(xyz)在上连续)的物体的质心坐标是资料个人采集整理，勿做商业用途x1x(x,y,z)dvy1y(x,y,z)dvz1z(x,y,z)dvMMMM(x,y,z)dv此中例4求平均半球体的质心解取半球体的对称轴为z轴原点取在球心上又设球半径为a则半球体所占空间闭区可表示为{(xyz)|x2y2z2a2z0}显然质心在z轴上故xy0zdvzdvzdvdv3a814/17个人采集整理仅供参照学习(0,0,3a)故质心为8提示0ra0202dv2d2da2sindr2a30r2sind2a00dr2dr3000zdv2d2arcosr2sindr12a1a4d2d300020sin2d00rdr224三、转动惯量设有一平面薄片据有xOy面上的闭地域D在点P(xy)处的面密度为(xy)假定(xy)在D上连续现在要求该薄片关于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量资料个人采集整理，勿做商业用途在闭地域D上任取一点P(xy)及包括点P(xy)的素来径很小的闭地域d(其面积也记为d)则平面薄片关于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为资料个人采集整理，勿做商业用途dIxy2(xy)ddIyx2(xy)d整片平面薄片关于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为Ixy2(x,y)dIyx2(x,y)dDD例5求半径为a的平均半圆薄片(面密度为常量)关于其直径边的转动惯量解取坐标系如图则薄片所占闭地域D可表示为D{(xy)|x2y2a2y0}而所求转动惯量即半圆薄片关于x轴的转动惯量IxIxy2d2sin2ddDDsin2da