高中数学北师大版3第一章计数原理 第1章52

第一章§5第2课时一、选择题1．(1－x)4(1－eq\r(x))3的展开式中x2的系数是()A．－6 B．－3C．0 D．3解析：(1－x)4(1－eq\r(x))3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)·(1－3xeq\f(1,2)＋3x－xeq\f(3,2))，所以x2的系数是－12＋6＝－6.答案：A2．若(x3＋eq\f(1,x2))n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则不含x的项等于()A．210 B．120C．461 D．416解析：由已知得第6项应为中间项，则n＝10.Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(x3)10－r·(eq\f(1,x2))r＝Ceq\o\al(r,10)·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴T6＋1＝Ceq\o\al(6,10)＝210.答案：A3．若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))n的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为()A．－240 B．－160C．160 D．240解析：由题意2n＝64，即n＝6，设Tr＋1为常数项．则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(x2)6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))r＝(－2)rCeq\o\al(r,6)x12－2r－r，令12－3r＝0，即r＝4，所以常数项为(－2)4·Ceq\o\al(4,6)＝16×15＝240，故选D．答案：D4．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是()A．第4项 B．第4、5两项C．第5项 D．第3、4两项解析：(x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．答案：B二、填空题5．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为____________.13356571111791822189…解析：观察规律可知：第n行的首尾两个数均为2n－1.答案：2n－16．在(1＋x)9的展开式中，系数最大的项的系数是____________.解析：因二项展开式共有10项，所以中间两项的二项式系数最大且相等，又由于x的系数为1.所以系数最大的项的系数为Ceq\o\al(4,9)或Ceq\o\al(5,9)，都等于126.答案：126三、解答题7．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3，求展开式的常数项．解析：依题意Ceq\o\al(4,n)∶Ceq\o\al(2,n)＝14∶3⇒3Ceq\o\al(4,n)＝14Ceq\o\al(2,n)∴eq\f(3nn－1n－2n－3,4！)＝eq\f(14nn－1,2！)⇒n＝10.设第r＋1项为常数项，又Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x2)))r＝(－2)rCeq\o\al(r,10)xeq\f(10－5r,2)，令eq\f(10－5r,2)＝0⇒r＝2，∴T2＋1＝Ceq\o\al(2,10)(－2)2＝180.因此所求常数项为180.8．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；(3)求a1＋a3＋a5.解析：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(2×1－1)5＝1.(2)由二项式定理，得(2x－1)5＝Ceq\o\al(0,5)(2x)5＋Ceq\o\al(1,5)(2x)4(－1)＋Ceq\o\al(2,5)(2x)3(－1)2＋Ceq\o\al(3,5)(2x)2(－1)3＋Ceq\o\al(4,5)(2x)(－1)4＋Ceq\o\al(5,5)(－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x4＋a4x＋a5.对比系数可知，a1，a3，a5为负数．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，又在二项展开式中令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－(－35)＝35＝243.(3)令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，①令x＝－1得－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－35②①＋②得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，∴a1＋a3＋a5＝eq\f(1－35,2)＝－121.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．设m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n，已知在f(x)展开式中，x的系数为19.(1)当m，n为何值时，x2的系数最小？(2)当x2的系数最小时，求x7的系数．解析：(1)f(x)展开式中，x的系数为Ceq\o\al(1,m)＋Ceq\o\al(1,n)＝m＋n＝19，即m＋n＝19.而x2的系数为Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(1,2)[m(m－1)＋n(n－1)]＝eq\f(1,2)[m2＋n2－(m＋n)]＝eq\f(1,2)[(m＋n)2－2mn－(m＋n)]＝eq\f(1,2)(361－2mn－19)＝171－mn，将m＝19－n代入，可得Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)＝n2－19n＋171＝(n－eq\f(19,2))2＋171－eq\f(361,4).由于n是正整数，所以当n＝9或n＝10时，x2的系数Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)取最小值81此时m＝10，n＝9或m＝9，n＝10.(2)由(1)知，n＝9且m＝10或n＝10且m＝9，此时f(x)均为f(x)＝(1＋x)9＋(1＋x)10＝(1＋