高中数学人教A版3第一章计数原理单元测试 市获奖

选修2-3第一章1.2.1第1一、选择题1．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有eq\x(导学号03960083)()A．6个 B．10个C．12个 D．16个[答案]C[解析]符合题意的商有Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12.2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是eq\x(导学号03960084)()A．8 B．12C．16 D．24[答案]B[解析]设车站数为n，则Aeq\o\al(2,n)＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.3．(2023·日照高二检测)下列各式中与排列数Aeq\o\al(m,n)相等的是eq\x(导学号03960085)()A．eq\f(n！,n－m＋1！)B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C．eq\f(nA\o\al(m,n－1),n－m＋1)D．Aeq\o\al(1,n)Aeq\o\al(m－1,n－1)[答案]D[解析]Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)而Aeq\o\al(1,n)Aeq\o\al(m－1,n－1)＝n×eq\f(n－1！,n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)，∴Aeq\o\al(1,n)Aeq\o\al(m－1,n－1)＝Aeq\o\al(m,n).4．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)准备不同的火车票种数为eq\x(导学号03960086)()A．30种 B．15种C．81种 D．36种[答案]A[解析]对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数Aeq\o\al(2,6)＝6×5＝30种．故选A．5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有eq\x(导学号03960087)()A．108种 B．186种C．216种 D．270种[答案]B[解析]从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有Aeq\o\al(3,7)－Aeq\o\al(3,4)＝186(种)，选B．6．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有eq\x(导学号03960088)()A．Aeq\o\al(8,8)种 B．Aeq\o\al(4,8)种C．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)种 D．2Aeq\o\al(4,4)种[答案]C[解析]安排4名司机有Aeq\o\al(4,4)种方案，安排4名售票员有Aeq\o\al(4,4)种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)种方案．二、填空题7．(2023·广东理，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)eq\x(导学号03960089)[答案]1560[解析]同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560条毕业留言．8．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).eq\x(导学号03960090)[答案]480[解析]A、B两个字母与C的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占eq\f(1,3)，∴排法有eq\f(2,3)Aeq\o\al(6,6)＝480.9.某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有________种.eq\x(导学号03960091)[答案]48[解析]由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类．第一类，用4色有Aeq\o\al(4,4)种，第二类，用3色有4Aeq\o\al(3,3)种，故共有Aeq\o\al(4,4)＋4Aeq\o\al(3,3)＝48种．三、解答题10．(2023·深圳高二检测)用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：eq\x(导学号03960092)(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？[解析](1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果，第二步，得十位数字，有5种不同结果，第三步，得个位数字，有4种不同结果，故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)．一、选择题1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为eq\x(导学号03960093)()A．43 B．72C．86 D．90[答案]B[解析]在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m、n，共有Aeq\o\al(2,8)＝56种方法；可在9、10中取一个作为m，在1、2、…、8中取一个作为n，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,8)＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：Aeq\o\al(2,8)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,8)＝72.2．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有eq\x(导学号03960094)()A．12种 B．18种C．24种 D．36种[答案]A[解析]先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有Aeq\o\al(3,3)种不同的排法；再排第二列，第二列第一行的字母有2种排法，排好此位置后，其他位置只有一种排法．因此共有2Aeq\o\al(3,3)＝12种不同的排法．二、填空题3．如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有________对.eq\x(导学号03960095)[答案]24[解析]六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．考察PA与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE)，(PA，EF)共四对．同理与其他侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．4．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有________种.eq\x(导学号03960096)[答案]5760[解析]第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有Aeq\o\al(2,2)种放法；第二步，油画内部排列，有Aeq\o\al(4,4)种；第三步，国画内部排列，有Aeq\o\al(5,5)种．由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(4,4)＝5760(种)．三、解答题5．求和：eq\f(1,2！)＋eq\f(2,3！)＋eq\f(3,4！)＋…＋eq\f(n,n＋1！).eq\x(导学号03960097)[解析]∵eq\f(k,k＋1！)＝eq\f(k＋1－1,k＋1！)＝eq\f(k＋1,k＋1！)－eq\f(1,k＋1！)＝eq\f(1,k！)－eq\f(1,k＋1！)，∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2！)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2！)－\f(1,3！)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3！)－\f(1,4！)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n！)－\f(1,n＋1！)))＝1－eq\f(1,n＋1！).6．(2023·宝鸡市金台区高二检测)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？eq\x(导学号03960098)[解析]百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个，百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个，百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个