高中数学人教B版1第二章圆锥曲线与方程2．3抛物线 学业分层测评第2章23

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．抛物线的焦点是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))，则其标准方程为()A．x2＝－y B．x2＝yC．y2＝x D．y2＝－x【解析】易知－eq\f(p,2)＝－eq\f(1,4)，∴p＝eq\f(1,2)，焦点在x轴上，开口向左，其方程应为y2＝－x.【答案】D2．抛物线y＝eq\f(1,4)x2的准线方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2【解析】∵y＝eq\f(1,4)x2，∴x2＝4y.∴准线方程为y＝－1.【答案】A3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为()【导学号：25650079】A．y2＝8x B．x2＝yC．y2＝8x或x2＝y D．无法确定【解析】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，将点(2,4)代入可得p＝4或p＝eq\f(1,2)，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.【答案】C4．若抛物线y2＝ax的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为()A．(－2,0) B．(2,0)C．(2,0)或(－2,0) D．(4,0)【解析】由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝4，解得a＝±8.当a＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.【答案】C5．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2 B．2C．－4 D．4【解析】易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，即p＝4.【答案】D二、填空题6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝________.【解析】由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－eq\f(p,2)，由题意知3＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝2.【答案】27．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程是________．【解析】由题意知，P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.【答案】y2＝8x8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋eq\f(p,2)＝1＋eq\f(5,2)＝eq\f(7,2)≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，过该焦点的直线方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2))).若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】②④三、解答题9．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标．【解】由抛物线定义，焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，则准线为x＝eq\f(p,2).由题意，设M到准线的距离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10，即eq\f(p,2)－(－9)＝10.∴p＝2.故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．10．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.【导学号：25650080】【解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.∵两圆外切，∴|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切．∴圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.∴|MC|＝d＋1，即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且eq\f(p,2)＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x.[能力提升]1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线的距离是()\f(1,2) \f(\r(3),2)C．1 \r(3)【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为eq\r(3)x－y＝0或eq\r(3)x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝eq\f(|\r(3)×1－0|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq\f(\r(3),2)或d2＝eq\f(|\r(3)×1＋0|,\r(\r(3)2＋12))＝eq\f(\r(3),2).【答案】B2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和到y轴的距离之和的最小值是()\r(3) \r(5)C．2 \r(5)－1【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为eq\f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值为eq\r(5)－1.【答案】D3．如图2­3­2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.图2­3­2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝eq\r(6).∴水面宽|CD|＝2eq\r(6)m.【答案】2eq\r(6)4．若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离.【导学号：25650081】【解】设抛物线焦点为F，连结AF，BF，如图，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－eq\f(1,2)，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.由抛物线定义，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理，得|MM′|＝eq\f(1