河南省商丘市深圳科技文化中学2022年度高三数学理期末试题含解析

河南省商丘市深圳科技文化中学2022年度高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10％，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为（

）A．10％

B．20％

C．30％

D．40％参考答案：D3.“”是“数列为递增数列”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A4.复数z满足，则复数z=（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意得：

本题正确选项：D

5.某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为A、

B、

C、

D、参考答案：答案：A6.已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为，则

（

）

A．

B．

C．45

D．55参考答案：C7.如果函数没有零点，则的取值范围为(

）A．

B．C．

D．参考答案：C8.已知函数，则下列判断错误的是（

）A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的值域为[－1,3]C.f(x)的图象关于直线对称 D.f(x)的图象关于点对称参考答案：D【分析】先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】可得对于A，的最小正周期为,故A正确；对于B，由，可得，故B正确；对于C，正弦函数对称轴可得：解得：，当，，故C正确；对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：解得：若图象关于点对称，则解得：，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9.已知平面向量，则下列说法中错误的是（

）A．

B．C．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数，使得D．向量与向量的夹角为45°

参考答案：C10.“”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B因为“”是“”的逆否命题是“”是“”的必要不充分条件，选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是与的等比中项，且，则

参考答案：3略12.某高中有三个年级，其中高一学生有600人，若采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，已知高二年级抽取20人，高三年级抽取10人，则该高中学生的总人数为___________。参考答案：1800

略13.已知

的最大值与最小值分别为M，N。则M+N=

参考答案：214.已知幂函数过点，则的反函数为____参考答案：（）【分析】先根据幂函数通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得。【详解】设幂函数（为常数），由题得，解得，故.由可得，把x与y互换可得，得的反函数为.【点睛】本题考查求幂函数的解析式进而求其反函数，属于基础题。15.设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则=________．参考答案：略16.用一个边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为

参考答案：略17.

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），点B在直线l1：y=﹣1上，点M满足，，点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线的斜率，直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，由于点N在以PQ为直径的圆上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，即可得出．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线斜率，得到直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，可得以PQ为直径的圆方程为：，由于在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），进一步确定即可．解答： 解：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲线C的方程式为x2=4y．（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴，∵点N在以PQ为直径的圆上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1，∴在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴以PQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分别令x0=2和x0=﹣2，由点P在曲线C上得y0=1，将x0，y0的值分别代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③②③联立解得或，∴在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入①式得，①式，左边==2（1﹣y0）+2（y0﹣1）=0=右边，将（0，﹣1）的坐标代入①式得，①式，左边=不恒等于0，∴在坐标平面内是存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、利用导数的几何研究抛物线的切线斜率、圆的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知函数是奇函数，（1）求的值；（2）若，求的值.参考答案：(1)因为为奇函数，所以对定义域内任意，都有即，由条件知，所以(2)因为为奇函数，所以,令，则

所以略20.)如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(m,n),(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).(1)求某个家庭得分为(5,3)的概率；(2)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率；(3)若共有4个家庭参加家庭抽奖活动.在(2)的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望.参考答案：解:(1)记事件A为“某个家庭得分情况为(5,3)”，则其概率为…2分(2)记事件B为“某个家庭在游戏中获奖”，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3类情况.所以

……4分(3)由(2)可知,每个家庭获奖的概率都是

……5分

……10分所以随机变量X的分布列为：X01234P

…………12分21.（本题满分18分，其中第1小题3分，第2小题7分，第3小题8分）给出函数封闭的定义：若对于定义域内的任意一个自变量，都有函数值，称函数在上封闭．（1）若定义域，判断函数是否在上封闭，并说明理由；（2）若定义域，是否存在实数，使得函数在上封闭？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）利用（2）中函数，构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令，，…，，…在上述构造数列的过程中，如果在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果不在定义域中，则构造数列的过程停止．①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列，求实数的取值范围．②如果取定义域中任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求实数的取值范围．参考答案：解：（1）因为，所以在上不封闭．

……3分（2）1当时，在上，此时在上封闭．

……5分2当时，在上，此时在上不封闭．

……7分3当时，在上单调递增．要使在上封闭，必有

．

……9分所以，当时，在上封闭．

……10分（3）1若构造的数列为常数列，只需时，有解，

……13分即有解，即在时有解．因为时，，所以

……15分2若构造的数列为无穷数列，则需要在区间上封闭，即．

……18分略22.（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直